Dado$x,y\in\mathbb{C}^n$% st$f(x,y)=\sup_{\theta,\phi}\{\|e^{i\theta}x-e^{i\phi}y\|^2,\theta,\phi\in\mathbb{R}\}$

Question

Dado$$x,y\in\mathbb{C}^n,\quad f(x,y)=\sup_{\theta,\phi}\{\|e^{i\theta}x-e^{i\phi}y\|^2,\theta,\phi\in\mathbb{R}\}

Entonces, ¿cuál es / son los siguientes son verdaderos?

$1.\ f(x,y)\le \|x\|^2+\|y\|^2-2Re|\langle x,y\rangle|$

$2.\ f(x,y)\le \|x\|^2+\|y\|^2+2Re|\langle x,y\rangle|$

$3.\ f(x,y)= \|x\|^2+\|y\|^2+2Re\langle x,y\rangle$

$4.\ f(x,y)\ge \|x\|^2+\|y\|^2-2Re\langle x,y\rangle$

No tengo idea de cómo empezar o cómo resolverlo, ¿podría alguien ayudarme?

Answer 1

Primero, una igualdad importante!

$$\begin{align*}\|a-b\|^2 &= \langle a - b, a - b\rangle \\ &= \langle a,a \rangle - \langle a,b \rangle - \langle b,a \rangle + \langle b ,b \rangle \\ &= \|a\|^2 - (\langle a,b\rangle + \langle b,a\rangle) + \|b\|^2 \\ &= \|a\|^2 - (\langle a,b\rangle + \overline{\langle a,b\rangle}) + \|b\|^2 \\ &= \|a\|^2 - 2\mbox{Re}(\langle a,b\rangle) + \|b\|^2\end {align *}$$

Ahora, ataquemos la norma dentro del sup.

$$\begin{align*}\|e^{i\theta}x - e^{i\phi}y\|^2 &= \|x\|^2 - 2\mbox{Re}(\langle e^{i\theta}x, e^{i\phi}y\rangle) + \|y\|^2 \\ &= \|x\|^2 - 2\mbox{Re}(e^{i(\theta-\phi)}\langle x, y\rangle) + \|y\|^2 \end {align *}$$

Finalmente, use este buen hecho acerca de los números complejos: dado cualquier número complejo$\lambda$, hay un$e^{ip}$% para que$\mbox{Re}(e^{ip}\lambda) = |\lambda|$. Geométricamente, estamos rotando el vector$\lambda$ para que se encuentre en el eje real. (También podríamos rotar para ser$-|\lambda|$ ...)

Combine estos hechos, señalando que$\mbox{Re}|\langle x,y\rangle| = |\langle x,y\rangle|$, ¡ya que la norma ya es real!