Es $\{ \sin n^m \mid n \in \mathbb{N} \}$ denso en $[-1,1]$ para cada número natural $m$?

Question

Es $\{\sin n^m \mid n \in \mathbb{N}\}$ denso en $[-1,1]$ para cada número natural $m$?

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El progreso

Para $m=1$, puedo demostrar esto con el hecho de que $\sin$ es continua y $a+b\pi$ es denso en la recta real, por entero$a$$b$. Sin embargo, este enfoque rompe $m>1$; ¿qué método se debe usar entonces?

Answer 1

Aquí está una primaria de la prueba:

Se ha demostrado que el conjunto de $\{a+b\pi|a,b\in \mathbb{Z}\}$ es denso en $\mathbb{R}$.

Traducir esto para el conjunto de $\{a \mod(2\pi)|a\in\mathbb{Z}\}$ es denso en $[0,2\pi]$. I. e. para cada una de las $x\in[0,2\pi]$, y para cada una de las $\epsilon>0$, existe alguna $a\in\mathbb{Z}$ $0<\epsilon_0<\epsilon$ tal que $$a=x+\epsilon_0\mod(2\pi)\tag{*}.$$

Fix $m$. Deje $x\in[0,2\pi]$$\epsilon>0$. Necesitas algo de $a\in\mathbb{Z}$ $0<\epsilon_0<\epsilon$ tal que $$a^m=x+\epsilon_0\mod(2\pi).$$

Deje $$M=\sum_{n=1}^m \binom{n}{m} (2\pi)^{\frac{m-n}{n}}.$$

A continuación, se aplica (*) por $x^{\frac{1}{m}}$$\epsilon'=\min\{1,\frac{\epsilon}{M}\}$. Se obtiene que existe una $a\in \mathbb{Z}$ y algunos $\epsilon_0<\epsilon'$ tal que $$a=x^{\frac{1}{m}}+\epsilon_0\mod(2\pi).$$

Elevar a la $m^{th}$ de energía y utilizar el teorema del binomio: \begin{align} a^m&=(x^{\frac{1}{m}}+\epsilon_0)^m\mod(2\pi)\\ &=\sum_{n=0}^m\binom{m}{n} \epsilon_0^n\cdot x^{\frac{m-n}{m}} \mod(2\pi)\\ &=x+\sum_{n=1}^m\binom{m}{n} \epsilon_0^n\cdot x^{\frac{m-n}{m}} \mod(2\pi) \end{align} y \begin{align} \sum_{n=1}^m\binom{m}{n} \epsilon_0^n\cdot x^{\frac{m-n}{m}}&=\epsilon_0\cdot\sum_{n=1}^m\binom{m}{n} \epsilon_0^{n-1}\cdot x^{\frac{m-n}{m}} \\ &\le \epsilon_0\cdot\sum_{n=1}^m\binom{m}{n} 1\cdot (2\pi)^{\frac{m-n}{m}} \\ &\le \epsilon_0\cdot M\\ &< \epsilon.\\ \end{align} Esto demuestra que fija $m$ el conjunto $\{a^m\mod(2\pi)|a\in\mathbb{Z}\}$ es denso en $[0,2\pi]$ y da el resultado que se conoce.

Nota: No son más cortas pruebas, pero el uso más avanzado de teoremas.