Permita que$B$ sea un espacio de Banach separable y$\nu$ una medida de probabilidad de Borel en$B$. Consideremos el espacio$C^1_b(B)$ de las funciones continuamente diferenciables delimitadas y con derivadas limitadas. ¿Es cierto que$C^1_b(B)$ es denso en$L^p(B,\mu)$ para cada$p \ne \infty$?
Respuesta
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Gio67
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Esta pregunta es más para las matemáticas de desbordamiento, creo. Yo solo tienen una respuesta parcial. Teorema 4.13 en el libro Geométrico no Lineal el Análisis Funcional Benyamini y Lindenstrauss dice que si $B$ es un espacio de Banach y su dual $B^{\prime}$ es separable, entonces admite una norma equivalente que es Frechet diferenciable, excepto en el origen. El uso que se puede construir a $C^{1}$ bump funciones y $C^{1}$ de las particiones de las particiones de la unidad.
En cambio si $B$ es separable, entonces $E$ tiene un equivalente de la norma que es sólo Tartas diferenciable, por lo que en este caso no podría ser bumb funciones supongo.
A continuación, en el Corolario 4.14 muestra que si $B$ es un espacio de Banach y su dual $B^{\prime}$ es separable, entonces cada función continua $f:U\rightarrow \mathbb{R}$, where $U$ is an open subset of $B$, can be uniformly approximated by a $C^{1}$ function. I guess one could use this first approximate $L^p$ functions with continuous functions and then continuous with $C^1$. Don't know about $C^\infty$. Este corolario es debido a Bonic y Frampton. [1] se trata de un interesante papel. Es se analiza la existencia de baches funciones. Como Martins Bruveris escribió: si no hay ninguna protuberancia funciones, dudo mucho de una función característica puede ser aproximada por una función suave.
