Convergencia en $\mathbb{Q}$

Question

¿Cómo demostraré que una secuencia en $\mathbb{Q}$ que está acotada por debajo y decreciente es Cauchy, sin utilizar el conocimiento de los reales?

Answer 1

CONSEJO: Deja que $\sigma=\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ sea una secuencia en $\Bbb Q$ que es decreciente y no Cauchy. Entonces existe un $\epsilon>0$ tal que para cada $m\in\Bbb N$ hay $k_m,\ell_m\in\Bbb N$ tal que $k_m,\ell_m\ge m$ y $|x_{k_m}-x_{\ell_m}|\ge\epsilon$ .

• Demuestra que $\sigma$ tiene una subsecuencia $\langle x_{n_k}:k\in\Bbb N\rangle$ tal que $|x_{n_{2k+1}}-x_{n_{2k}}|\ge\epsilon$ para cada $k\in\Bbb N$ .
• Demuestre que esta subsecuencia no está acotada por debajo, y concluya que $\sigma$ tampoco está acotada por debajo.

Answer 2

Lo hacemos por secuencias $(r_n)$ que están acotadas por arriba y crecientes, porque la intuición es más clara. La modificación para decreciente y acotado por debajo es sencilla.

Supongamos que nuestra secuencia no es Cauchy. Entonces existe una $\epsilon\gt 0$ de tal manera que no importa lo que $k$ que elijamos, hay un $l\gt k$ tal que $r_l-r_k\ge \epsilon$ . Podemos elegir $\epsilon$ ser racional.

Elige $m_1=1$ . Hay un $m_2\gt m_1$ tal que $r_{m_2}-r_{m_1}\ge \epsilon$ .

Pero entonces hay un $m_3\gt m_2$ tal que $r_{m_3}-r_{m_2}\ge \epsilon$ .

Pero luego hay un $m_4\gt m_3$ tal que $r_{m_4}-r_{m_3}\ge \epsilon$ .

Y así sucesivamente. Nótese que se deduce que $r_{m_t}\ge r_{m_1}+(t-1)\epsilon$ . Pero $t$ y, por tanto $t\epsilon$ puede hacerse arbitrariamente grande. Esto contradice el hecho de que nuestra secuencia está acotada anteriormente.

Answer 3

Supongamos WLOG que la sucesión no es eventualmente constante (ya que tal sucesión sería de Cauchy). Sea $\epsilon > 0$ arreglarse. Dado que la secuencia está acotada por debajo, elija un límite inferior $l$ tal que $l+\epsilon$ no es un límite inferior. Si no existe $l$ existe, entonces cada elemento de la secuencia es mayor que $l+n\epsilon$ para todos $n$ pero no existe tal número racional y mucho menos una secuencia de ellos. Por lo tanto, existe tal límite inferior. Entonces elegimos un elemento de la sucesión que sea menor que $l+\epsilon$ si tiene índice $N$ entonces para todo $n,m >N$ (WLOG $n\le m$ ) $|x_n-x_m|=x_n-x_m<l+\epsilon -l =\epsilon$ .

Answer 4

Una secuencia $(x_n)$ es Cauchy si

$$\forall \epsilon >0, \, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \, \forall m,n \geq n_0, \, |x_m-x_n|< \epsilon$$

Por lo tanto, si $(x_n)$ no es Cauchy entonces

$$\exists \epsilon >0, \, \forall n_0 \in \mathbb{N}, \, \exists m,n \geq n_0, \, |x_m-x_n| \geq \epsilon$$

En otras palabras, hay algo positivo $\epsilon$ con la propiedad de que siempre se pueden encontrar índices arbitrariamente grandes $m$ y $n$ tal que $x_m$ y $x_n$ son como mínimo $\epsilon$ aparte.

¿Puede utilizar esto y el hecho de que $(x_n)$ es decreciente para producir una contradicción con el hecho de que $(x_n)$ está acotado por abajo?