impar y funciones pares - ¿una suma directa?

Question

Pregunta: Sea V el espacio vectorial de todas las funciones $\Bbb R\to \Bbb R$ . Demostrar que $V=U \oplus W$ para $U=$ { $f | f(x)=f(-x) \forall x$ } $,$ W={ $f | f(x)=-f(-x) \forall x$ }

Lo que hice :

He demostrado que $U \cap W$ ={ $0$ }. Pero probar que cualquier función de R a R puede ser mostrada como una suma de pares e impares no fue un éxito. Intenté decir que para $v \in V, w \in W: v=v-w+w$ y demostrando que $v-w \in U$ pero eso no funcionó (Ese truco funcionó con algunas transformaciones lineales que vimos, pero esto no es una transformación lineal).

Answer 1

Una pista: $$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$