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Question

Como dice el título, necesito encontrar el resto de estos en números. Sé que aquí hay muchas preguntas similares, pero ninguna de ellas me da una explicación correcta. Siempre me quedo atascado en algún momento (sobre todo al principio) y no tengo idea de cómo empezar.

Gracias por adelantado.

Answer 1

ps

ps

y

ps

Ahora$$7^2\equiv-1\pmod{50}$ $

Answer 2

Puede separar y hacer $\pmod{2}$ y $\pmod{25}$ y el uso chino del resto: ambos son impares por lo que su suma es incluso y así $\equiv 0 \pmod{2}$. La función de euler de 25 da 20 y así $3^{333}\equiv 3^{13}\pmod{25}$ y $7^{777}\equiv 7^{17} \pmod{25}$.

Ahora, $7^2=49\equiv -1 \pmod{25}$. Así $7^{17}=7^{16}\cdot 7 \equiv 7\pmod{25}$.

$3^3=27\equiv 2 \pmod{25}$. Así $3^{13}=3^{12}\cdot 3\equiv 2^4\cdot 3 \equiv -2 \pmod{25}$.

Por lo tanto su suma es $5\pmod {25}$.

En conclusuion, $3^{333}+7^{777} \equiv 30 \pmod{50}$.

Answer 3

Siempre empiezo por escribir un par de poderes, en este caso modulo $50$:

$$\begin{align}3^1\equiv 3&\mod 50\ 3^2\equiv 9&\mod 50\ 3^3\equiv 27&\mod 50\ 3^4=81\equiv 31&\mod 50\ 3^5\equiv 93\equiv 43&\mod 50\ 3^6\equiv 129\equiv 29&\mod 50\ 3^7\equiv 87\equiv 37&\mod 50\ 3^8\equiv 111\equiv 11&\mod 50\ 3^9\equiv 33&\mod 50\ 3^{10}\equiv 99\equiv-1&\mod 50\ \end {Alinee el} $$

Oh mira, un patrón! Si $3^{10}\equiv -1\pmod {50}$, esto significa que el $3^{20}\equiv 1\pmod {50}$,

Desde aquí, sé que $3^{333}=(3^{20})^{16}\cdot 3^{10}\cdot 3^3\equiv 1\cdot(-1)\cdot 27=-27\equiv 23\pmod {50}$.

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La $7$, es aún más fácil, desde $7^2\equiv -1\pmod {50}$, lo que significa que el $7^{777}=(7^2)^{388}\cdot 7\equiv (-1)^{388}\cdot 7=7\pmod {50}$

Answer 4

La secuencia ${3^k\pmod{25}\mid k=1,\cdots}$ es el siguiente: $${3,9,2,6,-7,4,12,11,8,-1,\cdots}.$ $
Por lo tanto, el orden de $3$ modulo $25$ es $20,$ y $3^{333}\equiv3^{13}\equiv-3^3\equiv-2\pmod{25}.$
Además, $7^2\equiv-1\pmod{25}$ % que $7^{777}\equiv(-1)^{388}7\equiv7\pmod{25}.$
Así $3^{333}+7^{777}\equiv5\pmod{25}$ y es uniforme, por lo que es $\equiv 25+5=30\pmod{50}.$

Espero que esto ayude.

Answer 5

En primer lugar, permite calcular $\varphi(50)=\varphi(2\cdot 25)=\varphi(2)\varphi(25)=20$. Por el teorema de Euler, si $a$ es relativamente privilegiada a 50, $a^{20}\equiv 1 \pmod{50}$. Por lo tanto

$$3^{333}+7^{777}\equiv 3^{16*20+13}+7^{38*20+17}=1^{16}*3^{13}+1^{38}*7^{17}\pmod{50}.$$

Por lo tanto, hemos reducido el problema a la computación $3^{13} \pmod{50}$$7^{17}\pmod{50}$. Hay un número de maneras de proceder de aquí, pero uno que me gusta se repite el cuadrado. Voy a demostrar el procedimiento para que uno de los términos.

Escribir $13$ base $2$$13=8+4+1=1+2(2(1+2))$. A continuación,$3^{13}=3*((3^{1+2})^2)^2$. Podemos entonces calcular $3^3=27$, $27^2\equiv 29\pmod{50}$, $29^2\equiv (-21)^2\equiv 41 \equiv -9 \pmod{50}$, y, finalmente,$3*(-9)\equiv -27 \pmod{50}$. Con este método, se puede calcular el $a^b \pmod{n}$ en menos de $2\log_2 \varphi(n)$ pasos, donde cada paso es una cuadratura o una multiplicación por $a$, y nunca nos han intermedio términos más grande que $n^2$.