Estimación bayesiana: Bernoulli y la función de pérdida cuadrática

Question

Estoy tratando de entender una solución a este problema (soy muy principiante en la estadística Bayesiana) y estoy terriblemente confundido así que agradecería que alguien me explicara exactamente esta función de riesgo se obtuvo. Yo también agradecería cualquier punteros/asesoramiento en la literatura donde puedo encontrar problemas similares y una buena explicación de los conceptos básicos: $$X_{1}, . . . X_{n}$$ is Bernoulli with unknown parameter $\theta_{0}$

$$\hat\theta_{1} = \bar X$$

$$\hat\theta_{2}=\dfrac{n\bar X + a}{n + c}$$
y $a<c$

El riesgo para $\hat\theta_{1}$ es $$R\left(\hat\theta_{1},\theta_{0}\right) = \frac{1}{n}\theta_{0}(1 - \theta_{0})$$

El riesgo para $\hat\theta_{2}$ es $$R\left(\hat\theta_{2},\theta_{0}\right) = \frac{1}{(c+n)^2}[(a -\theta_{0}c)^2+n\theta_{0}(1-\theta_{0})]$$

Así que mi problema es que yo creo entender cómo el sesgo que se deriva, pero yo realmente no entiendo por qué la varianza se multiplica por n , es decir $n\theta_{0}(1-\theta_{0})$? En realidad, cuando me la plaza de la tendencia, no entiendo lo que sucede a $n{E}[\bar X]$ $- \theta_{0}$ cuando la conecto $\hat\theta_{2}$$({E}(\hat\theta) - \theta_{0})^2$ . Son iguales? Si es así, ¿por qué son iguales?

Y también estoy confundido por este resultado por $$\hat\theta_{1} = \frac{n\bar{X}+\sqrt{n}/2}{n + \sqrt{n}}$$ que corresponde a $$a= \sqrt{n}/2 \text{ and } c = \sqrt{n}$$ y que tiene un riesgo igual a $$R(\hat\theta_{1},\theta_0) = \frac{1}{4n} \frac{n^2}{(n + \sqrt{n})^2}$$

Cuando me conecte en estos valores en $R\left(\hat\theta_{2},\theta_{0}\right)$, no entiendo dónde $n^2$ en el numerador y el $4n$ en el denominador vienen.

Gracias de antemano por cualquier consejo/recomendaciones.

Answer 1

El riesgo para$\hat\theta_{2}$ es \begin{align*} R(\hat\theta_{2},\theta_{0}) &= \mathbb{E}_{\theta_0}\left[ (\hat\theta_2(X)-\theta_0)^2 \right] \\ &= \mathbb{E}_{\theta_0}\left[ \left(\frac{n\bar{X}+a}{n+c} - \theta_0\right)^2 \right] \\ &= \left(\frac{n\mathbb{E}_{\theta_0}[\bar{X}]+a}{n+c} - \theta_0\right)^2 + \text{var}_{\theta_0}\left(\frac{n}{(n+c)}\,\bar{X}\right)\\ &= \left(\frac{n\theta_0+a}{n+c} - \theta_0\right)^2 + \frac{n^2}{(n+c)^2}\,\text{var}_{\theta_0}(\bar{X})\\ &= \left(\frac{a-c\theta_0}{n+c}\right)^2 + \frac{n^2}{(n+c)^2}\,\frac{\theta_0(1-\theta_0)}{n}\\ &= \frac{1}{(c+n)^2}[(a -\theta_{0}c)^2+n\theta_{0}(1-\theta_{0})] \end {align *}

Entonces obtienes el sesgo al cuadrado más la varianza del estimador de Bayes, que es la varianza del promedio de la muestra multiplicado por el cuadrado del coeficiente.

La segunda parte se basa en el uso de$$ a= \frac{1}{2} \sqrt{n} \ \text{ and }\ c = \sqrt{n} en la fórmula general anterior y la ampliación de las dos cantidades al cuadrado: \begin{align*} \frac{1}{(\sqrt{n}+n)^2}&[\{(1/2)\sqrt{n} -\theta_{0}\sqrt{n}\}^2+n\theta_{0}(1-\theta_{0})] \\ &= \frac{n}{(\sqrt{n}+n)^2}\left[ \frac{1}{4} -\theta_0+\theta_0^2+\theta_0-\theta_0^2 \right]\\ &= \frac{1}{4(1+\sqrt{n})^2} \end {align *}