Expansión en serie de Laurent de $f(z)= \frac{\sinh(z)}{z^3}$

Question

Encuentre la expansión en serie de Laurent de $$f(z)= \frac{\sinh(z)}{z^3}$$

Con pequeñas manipulaciones, se me ocurrió lo siguiente,

$$\frac{\sinh(z)}{z^3}=\frac{1}{z^2}+\frac{1}{3!}+\frac{z^2}{5!}+...$$

¿Es útil encontrar la serie Laurent?

Answer 1

Como te ha dicho @jdc, la serie que has determinado es una serie de Laurent. Una serie de Laurent se define como $$ f(z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n $$ donde $c_n$ se determina por la fórmula integral de Cauchy, $$ c_n = \frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz $$ donde $C$ es una curva cerrada en $\mathbb{C}$ tomando en sentido contrario a las agujas del reloj. Una serie de Laurent tiene dos partes $(1)$ es la parte principal $\sum_{n=-\infty}^{-1}$ y $(2)$ la parte analítica $\sum_{n=0}^{\infty}$ . Ya que la serie que determinó tiene un coeficiente, $c_n$ , para $n = -1$ Ya no tienes una serie Taylor. \begin{align} f(z) &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{z^3(2n+1)!}\\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n-2}}{(2n+1)!}\\ &= \sum_{n=-1}^{\infty}\frac{z^{2(n+1)-2}}{(2(n+1)+1)!}\\ &= \sum_{n=-1}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n+3)!} \end{align}

Answer 2

He aquí un enfoque basado en la serie de potencias de la función exponencial

$$ f(z) = \frac{1}{2 z^3}( e^z-e^{-z} )= \frac{1}{2 z^3}\sum_{n=0}^{\infty}(1-(-1)^n)\frac{z^n}{n!}= \frac{1}{z^3}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n-2}}{(2n+1)!}.$$