La diferenciación de ambos lados de una ecuación

Question

Yo voy por el MIT conferencia sobre implícita diferenciación, y los dos primeros pasos que se muestran a continuación, tomar la derivada de ambos lados:

$$x^2 + y^2 = 1$$ $$\frac{d}{dx} x^2 + \frac{d}{dx} y^2 = \frac{d}{dx} 1$$ $$2x + \frac{d}{dx}y^2 = 0$$

Que tiene algún sentido, pero, ¿qué acerca de este ejemplo:

$$x = 5$$ $$\frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} 5$$ $$1 = 0$$

Por qué es el primer ejemplo correcta, mientras que el segundo es obviamente erróneo?

Answer 1

La primera de sus identidades hace algunos supuestos implícitos: se debe leer como $$ x^2+f(x)^2=1 $$ donde $f$ algunos (todavía por determinar) de la función. Si nosotros asumimos $f$ a ser diferenciable, entonces podemos diferenciar ambos lados: $$ 2x+2f(x)f'(x)=0 $$ porque se supone que la función de $g$ definido por $g(x)=x^2+f(x)^2$ es constante.

A partir de esto podemos derivar $$ f'(x)=-\frac{x}{f(x)} $$ al menos en los puntos donde se $f(x)\ne0$, lo que excluye $x=1$ $x=-1$ desde el dominio donde $f$ es diferenciable.

Por lo tanto, lo que se consigue es que asumiendo $f$ existe y es diferenciable, entonces, para $x\ne1$ y $x\ne 1$, $f'$ satisface la anterior relación.

¿Por qué es la relación escrita de esa manera? La respuesta es que a menudo se nos ha dado un lugar geométrico definido por algunos ecuación en dos variables: es el conjunto de puntos de $(x,y)$ tal que $h(x,y)=0$ y tratamos de encontrar una forma explícita para el locus, que es una relación $y=f(x)$ o $x=g(y)$ , por lo que $$ h(x,f(x))=0\qquad\text{ o }\qquad h(g(y),y)=0 $$ tiene por $x$ en un barrio de $x_0$ o $y$ en un barrio de $y_0$ donde $(x_0,y_0)$ pertenece a la legitimación.

Tomemos, por ejemplo, la capa delgada Cartesii, $x^3+y^3-3xy=0$. Si diferenciamos con respecto a $x$, obtenemos $$ 3x^2+3y^2y'-3y-3xy'=0 $$ lo que da $$ y'=\frac{y-x^2}{y^2-x} $$ Somos capaces de encontrar donde la derivada es cero mediante el establecimiento $y=x^2$ y enchufar en la ecuación original $$ x^3+x^6-3x^3=0 $$ que es $x=0$ (que no puede ser utilizado) o $x^3=2$, aún sin saber la "forma explícita" $y=f(x)$.

Answer 2

Usted escribió"$x = 5$"; ¿qué es lo que nos dicen acerca de $x$? Sólo que, $x$ es igual a 5. Así, en la diferenciación de ambos lados debe tener eso en mente. En otras palabras, $x$ es constante y 5 es constante.

También, entonces usted no puede hacer

$${d \over dx} x = {d \over dx} 5, \tag{1}$$

ya que es equivalente a

$${d \over d5} x = {d \over d5} 5, \tag{2}$$

que ya ha sido señalado es sin sentido.

A pesar de que usted puede hacer

$${d \over dy} x = {d \over dy} 5 \Leftrightarrow 0 =0;\tag{3}$$

aquí $y$ es una variable independiente sobre los números reales.

Answer 3

$x=5$ implica que el $x$ no cambia, así que no tiene sentido tratar de tomar la derivada de con respecto a $x$

Answer 4

$$2x + \frac{d}{dx}y^2 = constant $$

$$ x + y \frac{dy}{dx} = 0$$

Que tiene sentido buscar la variación entre las $x$ $y$ en términos de diferenciales de una cierta curva, el círculo.

Ahora atacando a una constante.

$$x = 5$$

No hay variación es claramente conocido y establecido y entendido, sabiendo perfectamente bien que el hecho de que, queremos que todavía pulse en buscar una variación entre el$x$$y$ !, sólo para ver qué va a pasar... Que no tiene sentido con un proceso de... como era de esperar nos lleva a ninguna parte,

$$ 1= 0. $$

Answer 5

Eso es porque en el primer caso se puede considerar un infinitesimal $\mathrm{d}x$ desde

$-1 \lt x \lt 1$. Sin embargo, para una constante $x$ en el segundo caso el $\mathrm{d}x$ es de sentido (que se puede considerar siempre $\mathrm{d}x = 0$). Por lo $\frac{0}{0} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{0}$ !!?