Función continua

Question

Considere la función$f(x)=[x]$ en el intervalo$[0,2]$ donde$[x]$ denota el número entero más grande menor o igual a x.

Es esta función continua? No puedo encontrar una razón para que no lo sea, aunque no estoy seguro.

Answer 1

Seguramente puede ver que la función no es continua en puntos integrales. Para ilustrarlo, calcula$\lim_{x\rightarrow 1^+}[x]$ y$\lim_{x\rightarrow 1^-}[x]$ que el límite no existe en$x = 1$. Por lo tanto, la función no puede ser continua.

Answer 2

La función de $\lfloor x \rfloor$ no es continua en los puntos del interior que son números enteros. En este caso en $x=1$. También es discontinua en a $x=2$

Si usted está buscando un argumento formal que aquí hay uno.

Si una función $f(x)$ es continua en a $x=a$ a continuación, para cada $\varepsilon>0$ existe una $\delta>0$ tal que $$|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)| < \varepsilon $$

Así que si la función es continua en $x=1$ $\varepsilon=\frac12$ debe haber un $\delta$. Si hay un delta en puntos que $1-\delta<x<1+\delta$ la desigualdad de $|f(x)-1| < \frac12 \, \, \star$ debe ser satisfecho.

Ahora nuestro trabajo se reduce a demostrar que a pesar de $\delta$ elegimos hay un punto para que $\star$ no se sostienen.

Así que si elegimos un $\delta < 1$ el punto de $0<1-\frac\delta2<1$ $f(x)=0$ en todas las regiones, lo que implica que $|f(x)-1|=|0-1|=1>\frac12$.

Answer 3

No es continuo.

Para ver eso, considere por ejemplo que$f(1) = 1$, pero$f(1 - \epsilon) = 0$ para cualquier$\epsilon>0$. Hay un 'salto' de$f=0$ a$f=1$ sin ningún valor entremedio, independientemente del tamaño de$\epsilon$.

Answer 4

Si está familiarizado con las propiedades de las funciones continuas, otra forma de verlo es que$f^{-1}(1)=[0,1)$, que no es un subconjunto cerrado de$[0,2]$.

Answer 5

Sugerencia: Prueba de la negación de $$ (\ forall \ epsilon> 0) (\ exists \ delta> 0) \ Big ((\ forall x) (| x-1 | <\ delta \ implica | f (x) -f (1) | <\ epsilon) \ Big), $$ que es $$ (\ exists \ epsilon> 0) (\ forall \ delta> 0) \ Big ((\ exists x) (| x-1 | <\ delta \ mbox {y} | f (x) -f (1) |> \ epsilon) \ Big) $$