Tiros infinitos disparados en un bosque de celosía

Question

Un cazador está de pie en el centro de un infinito 2D bosque. Hay un punto de árboles en todo el entero entramado de puntos. El cazador dispara una pistola con una bala de ancho cero en una dirección aleatoria. Se echa de menos (con probabilidad uno) de curso, porque el conjunto de los ángulos en los que puede golpear el árbol tiene medida cero, es decir, mientras que hay un número infinito de árboles, que son countably infinito.

¿Qué sucede cuando el cazador que lleva muchos disparos, cuyos ángulos conforman el conjunto de $A$ cuando

1. $|A|=c$, donde c es finito
2. $|A|=|\mathbb{Q}|$, un countably infinito número de disparos
3. $|A|=|\mathbb{R}|$, un uncountably infinito número de disparos

Cuando el cazador se toma un número finito de tiros en 1. le echa de menos cada disparo con probabilidad uno. ¿Qué acerca de la 2. y 3.? Mi intuición me dice que él echa de menos con probabilidad uno para todos, pero el último, como puede asignar cada disparo desde 2. sobre los puntos racionales sobre $\mathbb{Q}^2$, pero no estoy seguro de cómo probar esto.

Edit: En Qiaochu de la propuesta, el texto de la pregunta ha cambiado desde siempre se echa de menos a chocar con probabilidad uno.

Answer 1

Si el cazador dispara un arma de fuego una vez en una dirección uniforme elegido al azar con respecto a la única traducción-invariante probabilidad de medida de ángulos, que se pierde con probabilidad de $1$. Esto es no es lo mismo que decir que él siempre pierde; no hay una que no está vacía de medida cero evento correspondiente a él pegarle a algo. En la teoría de la probabilidad, la manera usual de decir esto es que se echa de menos , casi con toda seguridad, para subrayar que él no se pierda , seguramente. Véase también el de matemáticas.SE pregunta.

Esto sigue siendo cierto para un número finito de disparos, pero después de que existen problemas con la definición de infinito medidas del producto que no estoy familiarizado con. Creo que las cosas están bien contables de los productos de la probabilidad de los espacios, pero no sé lo que pasa después.

Answer 2

Restrinja el tiroteo al primer cuadrante. Entonces, el árbol en$(x, y)$ está en ángulo con una tangente racional $y / x$. Simplemente haga que el cazador dispare solo en ángulos con tangentes irracionales , que son iguales a$\mathbb{R}$ y fallan cada vez.