Estoy siguiendo el álgebra conmutativa de Michael Atiyah. En una de las proposiciones, demostró$\operatorname{nil}(R) = \cap P$, donde$P$ es el ideal principal. Uno puede ver fácilmente la inclusión$\operatorname{nil}(R) \subset P$. Sin embargo, para la otra inclusión usamos la lemma de Zorn. Entiendo la prueba, pero realmente no la entiendo conceptualmente hablando. ¿Hay una forma geométrica de pensar sobre eso?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Al menos, en el caso de $R$ es un finitely generado álgebra a través de una algebraicamente cerrado el campo, no es una manera agradable de ver este geométricamente. En este contexto, la propuesta dice que una variedad afín es la unión de su irreductible subvariedades.
Considere la posibilidad de un ideal $J$ en el polinomio anillo de $S=k[x_1,...,x_n]$. Buscando en el anillo cociente $S/J$, la instrucción se convierte en: $\sqrt{J}$ es la intersección de todos los números primos que contienen a $J$.
Ahora pensando clásica afín a la geometría algebraica, por Nullstellensatz tenemos $I(V(J))=\sqrt{J}$. Por lo tanto el uso de la "geométrica versión" de la proposición, se han $$\sqrt{J}=I(V(J))=I(\bigcup_{V(\mathfrak{p})\subseteq V(J)} V(\mathfrak{p}))=\bigcap_{\mathfrak{p}\supseteq J} \mathfrak{p}$$
