En las representaciones de un grupo de nonabelian de orden $pq$

Question

Deje $p,q$ primos el número s.t. $p>q$ y deje $G$ no abelian grupo de orden $pq$.

1) Determinar todos los grados de representación irreducible

2) Muestran que el $|[G,G]|=p$ (donde $[G,G]=\left<ghg^{-1}h^{-1}\mid g,h\in G\right>$)

3) Muestran que la $q$ brecha $p-1$ y $G$ $q+\frac{p-1}{q}$ clases conjugacy.

Mis respuestas

1) No es, por supuesto, el trivial representación de grado 1. Sé que si no es $k$ irreductible de la representación, a continuación, $1+d_2^2+\cdot +d_k^2=pq$ donde $d_i$ es el grado de la $i-$th representación, pero no sé cómo aplicarlo aquí.

2) Desde $[G,G]$ es un subgrupo de $G$ y $G$ no es abelian, $|[G,G]|\neq 1$ e lo $|[G,G]|\in\{p,q,pq\}$. Ahora sé que un grupo de orden $pq$ $p$ $q$ prime es resoluble, y por lo tanto, si $|[G,G]|=pq,$ el grupo $G$ no tienen ningún subgrupo $H$ s.t. $G/H$ abelian lo que sería una contradicción con el hecho de que es resoluble (¿no ?). Y así, $|[G,G]|\in\{p,q\}$. Ahora, cada grupo de primer orden es abelian, a continuación, $[G,G]$ es abelian. Pero, ¿cómo puedo escogió entre $p$$q$ ?

3) no tengo idea.

Answer 1

Para 2, observación de que mediante el teorema de Sylow, el número de Sylow p-grupo de divide y q es igual a 1 mod p. Si este número es p, entonces es imposible ya q no es 1 mod p desde $q<p$. Deduce que el P p subgrupo de Sylow es normal.

[G,G] es normal es diferente de G, ya que es la imagen por el cociente mapa G a G/[G,G] es triavial. Su cardenal no es 1, ya que G no es abelian. Si el cardenal fue q, entonces la intersección de [G,G] y P es trivial, ya que sus órdenes son relativamente primos. Este hecho también implica que P desplazamientos con [G,G] desde el colector de am elemento de P y [G,G] es contenido en su intersección, ya que ellos son normales. Esto implica que G es el producto de P y [G,G], y en lo sucesivo conmutativa. Contradicción.

3 considere el $n_q$ el número de Sylow p-subgrupos, ha $n_q$ divide a p y $n_q$ es igual a 1 mod q. $n_q$ no puede ser 1, ya que el q subgrupo de Sylow P será normal, y encima hacemos la observación de que el colector de un elemento de Pan Q es en su intersección por lo que G es conmutativo, se deduce que G es conmutativo, contradicción. Por lo tanto $n_q=p$ $p=1$ mod q. Esto implica que q divide a $p-1$