Encontrar toda matriz cuadrada real $A$ que $A=\operatorname{adj}(A)$

Question

Encontrar todos los real plaza matriz $A$ $$A=\operatorname{adj}(A)$$

Mis pensamientos:

Tenemos la bien conocida ecuación de $$ A\operatorname{adj}(A)=\operatorname{det}(A)I_n$$

Desde $A=\operatorname{adj}(A)$, que viene a $$ A^2=\operatorname{det}(A)I_n$$

Así,

• si $\operatorname{det}(A)=0$,$A^2=O$.
• si $\operatorname{det}(A)\neq0$, entonces tenemos (si $n\neq2$) $$(\operatorname{det}(A))^2=(\operatorname{det}(A))^n$$ $$ \operatorname{det}(A)=\pm1$$ $$ A^2=\pm I_n$$ En este caso, $A$ parece un involutory de la matriz.

¿Cómo caracterizar la matrics mencionado anteriormente? O ¿qué propiedades debe $A$ sigue así que completamente se puede caracterizar $A$?

Gracias por su ayuda!

Answer 1

La primera pregunta a responder: que las matrices de satisfacer $A^2 = I$$\det(A) = 1$?

Basta con señalar que desde $A^2 - I = 0$, el polinomio mínimo de a $A$ debe dividir $x^2 - 1 = (x-1)(x + 1)$. Por lo tanto, $A$ debe ser diagonalizable con autovalores igual a $\pm 1$. Por otra parte, puesto que el producto de los valores propios es igual a $\det(A)$ que es igual a$1$, $-1$ autovalor que incluso han multiplicidad. Todos juntos, podemos caracterizar a estas matrices como las de la forma $$ A = S \pmatrix{-I_{2k}&0\\0&I_{n - 2k}}S^{-1}, \quad k = 0,1,\dots,\lfloor n/2 \rfloor $$ donde $I_k$ indica el $k \times k$ matriz identidad y las matrices de aquí se $n \times n$.

La segunda pregunta: que las matrices de satisfacer $A^2 = -I$$\det(A) = -1$? De hecho, no hay ningún tipo real de las matrices. Debido a $A^2 + I = 0$ el (complejo) los autovalores de a $A$ debe resolver,$x^2 + 1 = 0$, es decir, que los autovalores de a$A$$\pm i$. Debido a $A$ es una verdadera matriz, sus autovalores complejos vienen en el conjugado de a pares. Por lo tanto, su determinante debe tener la forma $\det(A) = (-i)^k(i)^k = 1 \neq -1$.

Una explicación alternativa: la mínima polinomio $x^2 + 1$ $A$ es un polinomio irreducible sobre $\Bbb R$, por lo que el polinomio característico debe tener la forma $\det(xI - A) = (x^2 + 1)^k$. Por lo tanto, nos encontramos con que $A$ tiene incluso su tamaño, y que $\det(A) = \det(0I - A) = (0^2 + 1)^k = 1$.

Como me nota en los comentarios de arriba, no hay ninguna solución satisfactoria $A^2 = 0$, y de hecho no es invertible soluciones distintas a $A = 0$.

Answer 2

$A^2=I_n$, que $U={x:A(x)=x}, V={x:A(x)=-x}$. $U\cap V={0}$, para cada $x$, puede escribir $x={1\over 2}(A(x)+x)+{1\over 2}(x-A(x))$, ${1\over 2}(x+A(x))\in U$ y ${1\over 2}(x-A(x))\in V$.

Luego tomar cualquier $U,V$ subespacios suplementarios y definir $A_{\mid U}=IU$ y $A{\mid V}=-Id_V$.