Secuencia de espacios topológicos

Question

Un amigo mío hizo un ejercicio en el que una parte del texto era:

En $\mathbb{R}^3$ con topología euclidiana, consideramos $X=\mathbb{S}^2 \setminus \{ N \}$ , donde $N= (0,0,1)$ y $E=\{(x,y,z) \in \mathbb{S}^2 \mid z=0 \}$ . Sea $Y= X/E$ el espacio cociente obtenido de la contracción de $E$ a un punto y que $\pi\colon X \rightarrow Y$ sea la proyección canónica

Ahora comenzó un juego en mi mente.

Sé que $Y$ es homeomorfo a dos esferas, una de las cuales tiene un punto eliminado. Ahora dejemos que $X=X_0$ y $Y=X_1$ . Para cada esfera de $X_1$ Haré lo mismo que hice con $Y$ así que tendré $X_2$ que es homeomorfo a $4$ esferas en las que una de ellas no tiene punta. Sé que $\mathbb{S}_2 \setminus \{ N \}$ es homeomorfo a un disco cercano $D^2$ . Así que creo una secuencia $\{X_i\}_{i \in \mathbb{N}} $ de espacios topológicos donde cada $X_i$ es homeomorfo a $2^i-1$ esferas tangentes donde la última es tangente a un disco. La pregunta es:

¿Es posible determinar el espacio $$\lim_{i \to \infty}X_i$$

¿Es un espacio topológico? ¿Converge esta secuencia?

¿Estamos en el espacio topológico? ¿De qué tipo de espacio se trata?

Perdón por mi mal inglés, espero que alguien corrija mis errores.

Gracias

Answer 1

Ignoraré el punto que falta en el polo norte por ahora, ya que no aporta nada a la imagen por lo que veo.

Creo que este espacio podría ser considerado como una especie de demonio bastardo de la línea con dos orígenes .

Podrías hacer algo muy parecido a tu ejemplo, excepto que empiezas con una copia del círculo en el plano, y pegas los puntos este y oeste para obtener $X_1$ , entonces forme $X_2$ que son cuatro círculos, y así sucesivamente.

De la misma manera que se puede pensar que la línea con dos orígenes son dos copias de la línea real pegadas punto por punto excepto para el origen, creo que el límite directo de estas circulares $X_i$ será $$(I\times\{0\}\sqcup I\times \{1\})/{\sim}$$ donde $(x,0)\sim (y,1)$ si y sólo si $x=y=k/2^n$ para algunos $n\geq 0$ y enteros $0\leq k \leq 2^n$ .

Creo que la mejor manera de tratar de imaginar el límite directo en el esférico caso del $X_i$ s es algo así como el espacio definido anteriormente "girado sobre su eje", por lo que en lugar de cada punto que no sea de la forma $k/2^n$ teniendo exactamente dos representantes, ahora tenemos un círculo de representantes, todos cuyos puntos tienen vecindades abiertas que siempre se cruzarán de forma no trivial.