Dos elementos en un dominio no integral que no son asociados sino que generan el mismo ideal

Question

Deje $\mathbb{K}$ ser un campo. Deje $R$ ser el cociente del anillo de $\mathbb{K}[x,y]/(xy^{2})$. Deje $\bar{x}$ ser la clase de $x$ $R$ (i.o.w. $\bar{x}=x+(xy^{2}))$. Demostrar que $\bar{x}$ $\bar{x}+\bar{x}\bar{y}$ no están asociados, pero $(\bar{x}) = (\bar{x}+\bar{x}\bar{y})$ (como ideales en $R$).

He demostrado que los ideales $(\bar{x})$ $(\bar{x}+\bar{x}\bar{y})$ son los mismos en $R$: la inclusión $(\bar{x})\subseteq(\bar{x}+\bar{x}\bar{y})$ está dado por $\bar{x}=(\bar{x}+\bar{x}\bar{y})-\bar{y}(\bar{x}+\bar{x}\bar{y})$, el otro está dado por $\bar{x}\mid(\bar{x}+\bar{x}\bar{y})$.

No sé cómo demostrar que los dos elementos no están asociados en $R$. Por definición, esto significa que no existe una unidad de elemento $u\in R^{\times}$ tal que $\bar{x} = u(\bar{x}+\bar{x}\bar{y})$.

Considerando $\bar{x}=(\bar{1}-\bar{y})(\bar{x}+\bar{x}\bar{y})$, he pensado probar que $\bar{1}-\bar{y}$ no es una unidad de elemento en $R$ pero no sé cómo seguir con la prueba.

Answer 1

No voy a usar la barra de notación. En lugar de eso me denotar la indeterminates por $X,Y$ y sus residuos clases por $x,y$.

Supongamos que hay un elemento invertible $u\in R$ tal que $ux=x(1+y)$. Esto significa que, en $K[X,Y]$ tenemos $U(X,Y)X-X(1+Y)\in(XY^2)$, $U(X,Y)-(1+Y)\in(Y^2)$ y por lo tanto podemos escribir $U(X,Y)=1+Y+Y^2V(X,Y)$. Desde $xy^2=0$ $R$ podemos suponer que la $V$ es un polinomio sólo en $Y$, lo $u=1+y+y^2v(y)$. Pero $u$ no puede ser invertible en a $R$ porque se encuentra en un ideal maximal: considere la posibilidad de un polinomio irreducible $f\in K[Y]$ tal que $f(Y)\mid 1+Y+Y^2V(Y)$, y deje $\mathfrak m=(x,f(y))$.