No estoy seguro de si esto responder directamente a su pregunta, pero:
No creo que realmente se puede definir una característica de Euler. Pero una cosa es realmente interesante: la de Poincaré de la serie de el espacio. En general, para un graduado espacio vectorial $V$, se define como $L(t) = \sum \dim(L_n) t^n$. Este es un poder formal de la serie. Para un espacio de $X$, usted puede utilizar su cohomology con coeficientes en $A$:
$$L_X(t) = \sum \dim(H^n(X; A)) t^n$$
Si $X$ es de un número finito de CW-complejos, esto está relacionado con la característica de Euler por $\chi(X) = L_X(-1)$.
El infinito dimensional real proyectiva del espacio $\mathbb{RP}^\infty$ es un Eilenberg–MacLane de tipo $K(\mathbb{Z/2Z}, 1)$. En su artículo Cohomologie modulo $2$ des complejos d'Eilenberg–MacLane (francés), Serre describe cómo el comportamiento de la serie de Poincaré (mod 2) de Eilenberg–MacLane espacio puede dar información sobre el espacio en cuestión.
Usted debe leer (no les voy a resumir el artículo completo en este cuadro de respuesta), pero no son resultados muy interesantes. En particular, este teorema (Théorème 10) es probada a través de la utilización de la Poincaré serie de Eilenberg-MacLane espacios, y más específicamente a su comportamiento en la $1$:
Teorema: Vamos a $X$ ser simplemente conectado espacio, tal que:
- $H_i(X; \mathbb{Z})$ es un finitely generado abelian grupo para todos los $i > 0$;
- $H_i(X; \mathbb{Z/2Z})$ es cero por lo suficientemente grande como $i$;
- $H_i(X; \mathbb{Z/2Z})$ es distinto de cero para al menos uno de los $i$.
A continuación, hay un número infinito de números enteros $i$ tal que $\pi_i(X)$ contiene un subgrupo isomorfo a $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Z/Z}$.
