¿Cómo vibrar las moléculas después de la colisión?

Question

La diferencia entre la cinemática y la dinámica que Grisha señaló en su respuesta viene en una similar pero un poco más complicado caso:

Considere la posibilidad de (1D) dos partículas puntuales conectados por un resorte ("la molécula"), a la derecha de ellos de ser golpeado por una tercera partícula ("la bala") procedentes de la derecha con velocidad inicial $v_0$. Deje que la molécula de estar en reposo inicialmente. Vamos los tres partículas de igual masa $m$.

Después de la colisión tuvo lugar la bala se mueve a la derecha con una velocidad de $v_b$, la molécula se mueve a la izquierda con una velocidad de $v_m$ y oscila con una frecuencia $\omega$ y la amplitud de la $\alpha$.

La energía total de la molécula y su momentum total después de la colisión, a continuación, (espero no hacer ningún error grave):

$E = \frac{m}{2}(v_1^2 + v_2^2) = m (v_m^2 + \alpha^2\omega^2)$

$p = 2mv_m$

Las leyes de la conservación de rendimiento:

$v_m = \frac{1}{3}(v_0 + \sqrt{v_0^2 - 3\alpha^2\omega^2})$

$v_b = v_0 - 2v_m$

Ya sabemos que $v_m \geq \frac{1}{2}v_0$ tenemos

$0 \leq \alpha \leq \frac{v_0}{2\omega}$

I. e., el rango en el que la amplitud de la $\alpha$ puede variar depende de la constante del resorte $k$ (que se asocia con la frecuencia de $\omega \propto \sqrt{k/m}$): si la constante del resorte tiende a $\infty$ la amplitud debe tender a 0 y la molécula se comporta aproximadamente como una varilla rígida de masa $2m$, como hubiera sido de esperar.

En cualquier caso, la amplitud de la $\alpha$ es no determinado por las leyes de conservación, sólo su rango de valores posibles. (Este es analoguous para el caso de chocar dos partículas puntuales, vea las respuestas a ¿Dónde las partículas ir después de la colisión?)

Pero: Al menos me gustaría ver como no físico si la molécula sería no oscilan después de la colisión para finito de constantes de resorte $k>0$, que no obstante está permitido por las leyes de la conservación. No puedo imaginar una "estructura interna" o un micro-proceso que tiene lugar durante la colisión que se iba a producir este tipo de comportamiento. ¿Qué resultados podría inversa experimentos de dispersión de rendimiento?

¿Cómo voy a pensar en este alucinante rompecabezas?

[Postscript] En el caso de chocar dos partículas puntuales es fácil especificar la dinámica de una manera más natural, al menos en el caso de que los dos chocan con diametral velocidades: "por razones de simetría" sus velocidades después de la colisión será en el mismo o en dirección opuesta. (Real partículas puntuales, sin estructura interna que es la única ley o regla que tiene sentido.)

Pero ahora el rompecabezas sigue: Que "natural" de la ley, podrá determinar la solución de la molécula de-bala-problema?

Answer 1

No estoy del todo seguro de que esto es lo que estás buscando, pero he aquí una de Lagrange tomar en el sistema. Puedo elegir coordenadas para que $x_1(0)=0,x_2(0)=0$, por lo que

$$L=m/2(\dot x_1^2 + \dot x_2^2) - k/2 (x_1-x_2)^2$$

Es más fácil de resolver si vamos a las coordenadas $$X=1/2(x_1+x_2), \Delta x = 1/2 (x_1-x_2)$$ so that $$L = m(\dot X^2 + \Delta x^2) - 2k\Delta x^2$$. Esto nos da la siguiente Euler-Lagrange las ecuaciones -

$$\frac{d}{dt}\left(2m\dot X\right) = 0$$

$$\frac{d}{dt}\left(2m\dot\Delta X\right) = -4k\Delta x$$

Como era de esperar, el centro de masa de movimiento es constante y de la segunda ecuación describe una oscilación $\Delta X$. Lo que determina la amplitud de su oscilación aquí es la condición inicial - la bala golpea un extremo de la molécula y las transferencias de impulso $p_0$no, por lo que obtener las condiciones iniciales $$x_1=0,x_2=0,\dot x_1 = p_0/m, \dot x_2 = 0$$. If we parametrize the oscillation as $\Delta x = \alpha \sin(\omega t + \phi)$, at $t=0$ obtenemos

$$\Delta x(0) = \alpha \sin(\phi) = 0, \Delta \dot x = \alpha \omega \cos(\phi) = p_0/2m $$

lo que nos da

$$\phi=0, \alpha = \frac{p_0}{2\omega m}$$.

Así que, por supuesto $\alpha$ está totalmente determinado en esta imagen.

Comparando con el modelo de tu pregunta, yo diría que maltratan la colisión suponiendo que la bala choca con la molécula entera como una unidad rígida, mientras que en realidad la colisión entre la bala y un átomo, ambos de igual masa, por lo que el $v_b$ cero, $v_m$ se convierte en exactamente $v_0/2$ y usted puede calcular el $\alpha$ a partir de ahí.

Me pregunto un poco acerca de la validez de mi enfoque cuando se va a infinito $k$ desde que se DEBERÍA cambiar el proceso de colisión a ser 'con todo el sistema" y me gustaría ver una especie de $k$ dependencia en $v_b$, pero no puedo ver cómo tratar adecuadamente esta en el momento.

Answer 2

Creo que, de Thomas respuesta es correcta, aun cuando no creo que de la bala de chocar con la totalidad de la molécula como un rígido unidad, literalmente.

El punto crítico es, por qué el destino toma el impulso de la bala de forma instantánea y completamente (detener el último instante), incluso cuando contrariado por la primavera.

Eso es porque la fuerza de la primavera es finita, mientras que la fuerza-por-la colisión es infinito. Este estado de cosas sólo cambios - pero drásticamente entonces, cuando la fuerza de la primavera - es decir $k$ - es infinito, también.

O cuando consideramos un suave potencial entre la bala y el destino como $V(\Delta x) \propto \beta\text{e}^{-\beta \Delta x^2}$ o más "realista" que algo como $V(\Delta x) \propto \frac{1}{\beta \Delta x}$ - $\beta \rightarrow \infty$ dar "duro esfera de la colisión".

Answer 3

Sólo hay una paradoja si se supone un ser infinitamente rígido de la primavera Y e infinitamente colisión elástica. Para una colisión que se produce en una escala de tiempo mucho menor que el periodo de oscilación natural de la molécula, el incidente átomo deja de muertos. Para una colisión que se extiende a lo largo de varias oscilaciones de la molécula, el átomo automaticamente como si hubiera golpeado un objetivo de masa 2m. El problema es resuelto por trivial métodos tanto tiempo como usted puede suponer que la relación entre el periodo de oscilación y el tiempo de contacto es muy grande o muy pequeño.

(Por supuesto, esto no es como los átomos y las moléculas de trabajo. Es realmente una bola de billar y la primavera problema, y hemos utilizado el "átomo/molécula" de la terminología como una forma abreviada conveniente.)