Demostrar que si $p \mid a-b$ entonces $p^{n+1} \mid a^{p^n}-b^{p^n}$

Question

Necesito ayuda con el siguiente problema, no sé cómo continuar. Deja que $p$ sea un primo. Demostrar que si $p \mid a-b$ entonces: $$p^{n+1} \mid a^{p^n}-b^{p^n}$$

Al principio pensé lo siguiente:

$$p \mid a-b$$ $$a \equiv b\ (p)$$ $$a^{p^n} \equiv b^{p^n}\ (p)$$ Pero no sé cómo pasar de $\bmod p$ a $\bmod p^{n+1}$ o si hay una forma más sencilla de probarlo. ¿Podrían darme alguna pista u otra forma de pensar en este problema? Gracias.

Answer 1

Puedes demostrarlo por inducción. El paso principal es el siguiente

Lema: Si $a \equiv b \mod rq$ para algunos $q, \, r$ entonces $a^q \equiv b^q \mod rq^2$ .

Prueba: Supongamos que $a \equiv b \mod rq$ Es decir $a = b + krq$ para algún número entero $k$ . Entonces, por el teorema del binomio $$ a^q = b^q + q b^{q-1}\cdot krq + + \sum_{j = 2}^q \binom{q}{j} b^{q-j} (krq)^j = b^q +\ell r q^2 $$ para algún número entero $\ell$ . Por lo tanto, $a^q \equiv b^q \mod rq^2$ .

Ahora, para demostrar la afirmación, utiliza la inducción. El paso base $n = 1$ se hace utilizando el lema con $q = p$ y $r = 1$ .

El paso de inducción funciona como sigue: Supongamos que $a^{p^n} \equiv b^{p^n} \mod p^{n+1}$ . Por lo tanto, la suposición del lema se mantiene con $q = p, r = p^n$ . Aplique el lema y obtenga $$ a^{p^{n+1}} = \left(a^{p^n}\right)^p \equiv \left(b^{p^n}\right)^p = b^{p^{n+1}} \mod rp^2 = p^{n+2} \, . $$ La prueba es completa.