¿Cuándo tomar cohomología pullbacks a pushouts?

Question

Me he encontrado con una simple situación donde uno tiene un pullback diagrama de espacios topológicos y tomar cohomology tiene en lo que yo creo que es un pushout diagrama en la categoría de anillos. No estoy seguro de si puedo hacer diagramas de aquí, pero tengo los mapas de $X \overset{f}\to Z \overset{g}\leftarrow Y$ y el producto de fibra de $$X \times_Z Y = \big\{(x,y) \in X \times Y : f(x) = g(y)\big\}$$ dada la topología de subespacio. Cuando me tome singular cohomology con coeficientes racionales, en este caso, me da un isomorfismo $$H^*(X \times_Z Y) \cong H^*(X) \otimes_{H^*(Z)} H^*(Y),$$ donde el $H^*(Z)$-álgebra estructuras en $H^*(X)$ $H^*(Y)$ son dadas por el retroceso a lo largo de $f$$g$.

Cómo general es esta situación? Lo que se necesita para ir a la derecha para que funcione? Lo que se necesita ir mal para que falle?

Answer 1

Bueno, tu pregunta es exactamente lo que motiva a la gente a estudiar homotopy teoría. Yo le aconsejo que mire Modelo de la Categoría de Teoría.

Para responder a tu pregunta, creo que siempre funciona al $f$ o $g$ es un fibration (y si el anillo de coefficents es un campo).

Permítanme también dar un contraejemplo. Deje $X$ $Y$ ser puntos, $Z$ ser el intervalo cerrado, y $f$ $g$ ser el inclusiones en $0$$1$. A continuación, el producto de fibra está vacío... (La cosa correcta a hacer aquí habría sido tomar el homotopy producto de fibra). Pero $f$ $g$ son homotopy equivalencias, por lo $H^\ast(X) \simeq H^\ast(Z) \simeq H^\ast(Y)$.