Cómo mostrar que $\mathbb Q(\sqrt 2)$ $\mathbb Q(\sqrt 5)$ son no isomorfos?

Question

• Cómo mostrar que $\mathbb Q(\sqrt 2)$ $\mathbb Q(\sqrt 5)$ son no isomorfos como un anillo?

  Todo lo que podía manejar a mostrar es que,

  para cualquier isomorfismo $\phi:\mathbb(\sqrt 2)\to\mathbb(\sqrt 5),$ $\phi(1)=1.$

  Desde $\phi$ es un homomorphism, $\phi(a+b\sqrt 2)=\phi(a)+\phi(b)\phi(\sqrt 2)=a+b.\phi(\sqrt 2)$ (Desde $\phi(\dfrac{p}{q})=\dfrac{p}{q}\phi(1)$ $p,q(\neq 0)\in\mathbb Z$) $\forall~a,b\in\mathbb Q.$

Answer 1

Sugerencias sin muchas palabras: supongamos que hay un isomorfismo, entonces

$$\phi(\sqrt 2)=a+b\sqrt 5\implies \phi(2)=a^2+2ab\sqrt 5+5b^2$$

Pero también

$$\phi(2)=2\phi(1)=2$$

Deducir ahora su contradicción....

Answer 2

Sabemos que $\sqrt{2}\times \sqrt{2} - 1 - 1 =0$. Por lo tanto $\phi(\sqrt{2})\times\phi(\sqrt{2})-\phi(1)-\phi(1)=\phi(0)$. Por lo tanto $x^2=2$ tiene una solución en $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$.

Answer 3

Otro ejemplo de ecuación de tener sol-n en $Q[\sqrt2]$, pero no en $Q[\sqrt5]$: tome $(x+(a+b\sqrt2))\cdot(x+(a-b\sqrt2))=x^2 +2xa+(a^2-2b^2)$ (los coeficientes pertenecen a $Q[\sqrt5]$, ya que pertenecen a $Q$)