Espacio de Banach en el análisis funcional

Question

1. Demostrar que un subespacio cerrado de un espacio de Banach es también un espacio de Banach.
2. Mostrar que el espacio lineal de todos los polinomios en una variable no es un espacio de Banach en cualquier norma.

Answer 1

Sugerencias:

1. Demostrar que un subespacio cerrado de un espacio métrico completo es completo.

2. El subespacio de los polinomios de grado $\leq n$ es cerrado en cualquier norma debido a que es finito-dimensional. Por tanto, el espacio de todos los polinomios puede ser escrito como contables de la unión de cerrado ningún lugar densos conjuntos. Si no se completa esta norma estaría en contradicción con la categoría de Baire teorema.