En el corto entero $163/\ln(163)$

Question

Esta pregunta, relativa a la aproximación de $\frac{163}{\ln(163)}\approx 2^5$, se publicó en el MO 5 años: ¿por Qué 163/ln(163) Cerca de un Entero?.

Se llegó a la conclusión de que no tenía nada que ver con 163 siendo un Heegner número, y que es más probable que sólo una coincidencia matemática.

Jugando con mi calculadora, me di cuenta de que $163\pi\approx2^9$, e $\ln(163)\pi\approx 2^4$, así que pensé que quizá $\pi$ tiene algo que ver con esto? Procedí a pulsar botones en mi calculadora, y vino para arriba con $\pi\approx\frac{2^9}{163}+\frac1{2^{11}}\approx\frac{2^4}{\ln(163)}+\frac1{2^{11}}$. ¿Qué está pasando aquí?

Me di cuenta también de que $67$ exhibe algo similar: $\frac{67}{\ln(67)}\approx2^4-\frac{67}{2^{10}}$.

No he encontrado este tipo de relaciones con otros Heegner números, pero yo todavía permanecen insatisfechos. Tal vez es el comienzo de algunas Ramanujan-tipo de series infinitas para $\frac1{\pi}$, o..? Yo no estoy convencido de que estas relaciones son simplemente de sentido de la numerología. Puede alguien explicar lo que está pasando? Y ¿qué $\pi$ tiene que ver con esto? He puesto esto con la esperanza de que alguien que sabe más que yo podría arrojar algo de luz sobre ella, y lo siento de antemano si este no es el lugar apropiado para hacerlo.

Answer 1

Lo que hace que los números de Heegner $d$ especial es que, ya que ellos tienen de la clase número $h(-d) = 1$, entonces la j-función de $j(\tau)=j \Big( \tfrac{1+\sqrt{-d}}{2} \Big)$ en esos puntos es un entero algebraico de grado $1$.

Sin embargo, hay $d$ tal que $j(\tau)$ es un entero algebraico de grado $2$. El mayor de los cuales es $d = 7\times61=427$ y se explica por qué,

$$e^{\pi\sqrt{427}} \approx 5280^3(236674+30303\sqrt{\color{blue}{61}})^3+743.999999999999999999999987\dots$$

Por lo tanto, si tu (y muchos otros) observación acerca de las $d=163$ tiene que ver con su "Heegner-ness" y el número de clase, entonces es razonable preguntar si algo análogo sucede con,

$$x = \frac{427}{\ln(427)} = \color{brown}{70.499459}62\dots$$

esta vez suponiendo que $x$ está cerca de un entero algebraico de grado $2$.

Por desgracia, Mathematica no reconoce esto como cerca de la raíz de una ecuación cuadrática $ax^2+bx+c = 0$ con los pequeños y los coeficientes de $a=1$ (ya que requieren que el $x$ estar cerca de una expresión algebraica entero).

Actualización: Ampliar el radio de búsqueda, la mayoría de los resultados fueron como,

$$\tfrac{1}{2}(52417-\sqrt{2732780289}) = \color{brown}{70.499459}59\dots$$

con cientos de discriminantes un enorme sentido del número. Dentro de este radio, y con una precisión por encima de $10^{-7}$, el único discriminante que era pequeña, de todos los números, resultó ser,

$$\tfrac{1}{2}(52415-6693\sqrt{\color{blue}{61}}) = \color{brown}{70.499459}57\dots$$

Suspiro. (Fin de la actualización.)

La observación acerca de las $\frac{163}{\ln(163)} \approx 31.9999987$ parece ser nada más que matemática coincidencia, tan interesante como es. Pero hay otros aspectos de $163$ que no son coincidencia. Por ejemplo,

$$1^2+40^2 = 42^2-163$$

es una consecuencia de la conocida primer generar polinomio $F(n) = n^2+n+41$. He recogido algunas de estas gemas en esta lista.

Answer 2

Parecen ser de 5 números entre el 1 y el $10^6$ y 45 números entre 1 y $16 \cdot 10^6$ que están más cerca de un entero de 163/log(163). Supongo que lo que tiene de especial es que 163 es un número tan pequeño. El siguiente más pequeño que está más cerca de un entero es 53453.

Answer 3

Deje $k$ el número de bits en su expresión LaTeX para la aproximación. Esperamos ser capaces de encontrar una aproximación a dentro de$2^{-k}+O(1)$$k \to \infty$, porque ya tenemos uno, es decir,$2^{-k} \approx 0$. Así que sus ejemplos son bastante mundana, porque apenas acercarse a $2^{-k}$ de precisión.

Answer 4

Otro divertido observación se relaciona con aproximaciones de $2^5 = 32$: $\pi^3+1 =/almost/= 32 = 2^5$, en realidad es $32.00627...$, por lo que casi podemos factor de $2^5$ $$\pi^3+1 = \pi^3-(-1) = \pi^3-(-1)^3 = (\pi+1)(\pi^2-\pi+1) = (\pi+1)((\pi-1)^2+\pi) = (\pi+1)((\pi-1)^2-(-\pi)) = (\pi+1)(\pi-1+i\sqrt\pi)(\pi-1-i\sqrt\pi)$$ Usted puede escoger a tu favorito!