El teorema espectral en el libro de los estados que
Teorema. (Teorema Espectral).
Deje $A$ ser simétrica $n\times n$ matriz. Entonces
Los autovalores de a $A$ son reales.
Hay una base ortonormales $\{{\bf q}_1,{\bf q}_2,\ldots,{\bf q}_n\}$ $\mathbb{R}^n$
consta de vectores propios de a $A$. Es decir, existe una matriz ortogonal
$Q$ , de modo que $Q^{-1}AQ=\Lambda$ es diagonal.
Ahora empezamos a probar la sugerencia del problema.
Deje $A$ $B$ $n\times n$ matrices, $\lambda$ ser un autovalor de a $A$,
y ${\bf E}(\lambda)$ $\lambda$- subespacio propio de $A$.
Vamos
$\beta=\{{\bf q}_1,{\bf q}_2,\ldots,{\bf q}_k\}\subseteq\mathbb{R}^n$
ser un ortonormales base para ${\bf E}(\lambda)$.
Desde $AB=BA$,
dado ${\bf x}\in{\bf E}(\lambda)$, tenemos
$$AB{\bf x}=BA{\bf x}=B\lambda{\bf x}=\lambda B{\bf x}.$$
De ello se desprende que $B{\bf x}\in{\bf E}(\lambda)$, es decir,
$B({\bf E}(\lambda))\subseteq{\bf E}(\lambda)$ y tenemos un
transformación lineal $\mu_B:{\bf E}(\lambda)\rightarrow{\bf E}(\lambda)$
definido por $\mu_B({\bf x})=B{\bf x}$ todos los ${\bf x}\in{\bf E}(\lambda)$.
También, desde
$A$B{\bf x}\cdot{\bf y}
={\bf x}^\la parte superior B^\top{\bf y}
={\bf x}^\la parte superior B{\bf y}
={\bf x}\cdot B{\bf y},\quad\forall
{\bf x},{\bf y}\in{\bf E}(\lambda).$$
Mediante la observación de las siguientes ecuaciones
\begin{align}
\mu_B({\bf q}_j)=B{\bf q}_j=\sum_{i=1}^k(B{\bf q}_j\cdot{\bf q}_i){\bf q}_i,\quad\forall j=1,2,\ldots,k,
\end{align}
si dejamos $B'$ $k\times k$ matriz de $\mu_B$ w.r.t. el
base $\beta$, es decir,
$A$B'=\begin{bmatrix}
B{\bf q}_1\cdot{\bf q}_1&
B{\bf q}_2\cdot{\bf q}_1&
\cdots&
B{\bf q}_k\cdot{\bf q}_1\\
B{\bf q}_1\cdot{\bf q}_2&
B{\bf q}_2\cdot{\bf q}_2&
\cdots&
B{\bf q}_k\cdot{\bf q}_2\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
B{\bf q}_1\cdot{\bf q}_k&
B{\bf q}_2\cdot{\bf q}_k&
\cdots&
B{\bf q}_k\cdot{\bf q}_k\\
\end{bmatrix}.$$
A continuación, $B'$ es simétrica,
y por el teorema espectral, existe una base ortonormales
$\{{\bf q}'_1,{\bf q}'_2,\ldots,{\bf q}'_k\}$ $\mathbb{R}^k$
consta de vectores propios de a $B'$ correspondientes a autovalores
$\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_k$. Definir
$\gamma=\{{\bf q}''_1,{\bf q}''_2,\ldots,{\bf q}''_k\}\subseteq\mathbb{R}^n$ por
$${\bf q}"_j=\sum_{i=1}^k({\bf q}'_j)_{i}{\bf q}_i,\quad\forall
j=1,2,\ldots,k,$$
donde $({\bf q}'_j)_i$ el valor del $i$th entrada de ${\bf q}'_j$.
A continuación, $\gamma$ es claramente un ortonormales base para ${\bf E}(\lambda)$.
Por otra parte, se observa que la
\begin{align}
B{\bf q}''_j\cdot{\bf q}_l
=\sum_{i=1}^k({\bf q}'_j)_{i}(B{\bf q}_i\cdot{\bf q}_l)
=(B'{\bf q}'_j)_l
=(\mu_j{\bf q}'_j)_l
=\mu_j({\bf q}'_j)_l,
\end{align}
lo que implica
\begin{align}
B{\bf q}''_j\cdot{\bf q}''_l
&=\sum_{i=1}^k({\bf q}'_j)_{i}(B{\bf q}_i\cdot{\bf q}_l'')
=\sum_{i=1}^k({\bf q}'_j)_{i}(B{\bf q}''_l\cdot{\bf q}_i)\\
&=\mu_l\sum_{i=1}^k({\bf q}'_j)_{i}({\bf q}'_l)_i
=\mu_l{\bf q}'_j\cdot{\bf q}'_l
=\left\{\begin{array}{ll}
\mu_l&\mbox{if }j=l;\\0&\mbox{if }j\ne l.
\end{array}\right.
\end{align}
Por lo tanto
$B{\bf q}"_j
=\displaystyle\sum_{i=1}^k(B{\bf q}"_j\cdot{\bf q}"_i){\bf q}"_i
=\mu_j{\bf q}"_j$, that is, $\gamma$ consta de los vectores propios
de $B$, y completamos la prueba de la pista.
El resto del problema se siga inmediatamente.
