Serie de Fourier análoga a una fórmula en la transformada de Fourier

Question

Cada fórmula de la transformada de Fourier que conozco tiene su correspondiente análogo en la serie de Fourier, excepto la fórmula de la multiplicación $$\int_{-\infty}^\infty f(x)\hat{g}(x) dx=\int_{-\infty}^\infty \hat{f}(y)g(y) dy.$$

Así que mi pregunta es si existe un análogo de la serie de Fourier para esta fórmula.

Answer 1

Su fórmula es otra forma de escribir Teorema de Parseval , es decir, que la transformada de Fourier preserva los productos internos:

$$\int_{-\infty}^{\infty} f \overline{g} = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}\overline{\hat{g}} .$$

(Debería combinar esto con las identidades $\hat{\hat{g}}(x) = g(-x)$ y $\overline{\hat{g}}(y) = \hat{\overline{g}}(-y).$ )

También existe una versión en serie de Fourier del teorema de Parseval: a saber si $f$ (con período 1) tiene la serie de Fourier $a_n$ y $g$ (con periodo 1) tiene la serie de Fourier $b_n$ entonces $$\int_0^1 f \overline{g} = \sum_{n = -\infty}^{\infty} a_n \overline{b}_n.$$

Sin embargo, no veo cómo reescribir esto de forma análoga a tu fórmula, sólo porque (a diferencia del contexto de la transformada de Fourier, donde la función $f$ y la transformada de Fourier $\hat{g}$ son ambas funciones en la recta real) una función periódica y su serie de Fourier son bestias diferentes, por lo que no está claro (para mí) cómo se podrían mezclar en una integral o algo similar.

Añadido : Como observa p.s. en su respuesta, se podría argumentar que la identidad en cuestión es más débil que Parseval, ya que para deducir Parseval de requiere una aplicación de la inversión de Fourier (la fórmula $\hat{\hat{g}}(x) = g(-x)$ utilizado anteriormente).

Answer 2

Recordemos el adjunto de un operador $F$ en espacios de producto interno se define por $\langle Fg,h \rangle=\langle g, F^*h \rangle$ . La identidad es sólo una expresión del hecho de que la transformada de Fourier es el conjugado complejo de su adjunto: $\langle Fg,\bar{h} \rangle=\langle g, F^* \bar{h} \rangle=\langle \bar{F^*} h,\bar{g} \rangle=\langle Fh,\bar{g} \rangle$ . (Esta es una afirmación estrictamente más débil que la igualdad de Parseval.) En general, el adjunto conjugado del operador de Fourier de $H_1$ a $H_2$ es el operador de Fourier de $H_2$ a $H_1$ .

Answer 3

Dado un sistema de funciones ortogonales $\phi_{n}(x)$ ( $n=1,2,\dots$ ) con norma

$$\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert =\sqrt{\left( \phi_{n}\cdot \overline{\phi }_{n}\right) }=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\int_{a}^{b}\phi _{n}\left( x\right) \,\overline{\phi }_{n}\left( x\right) \;dx}$$

y dos funciones $f(x)$ e $g(x)$ representado por la serie de Fourier

$$f(x)\sim\displaystyle\sum_{n\ge 1} c_{n}\phi_{n}(x)$$

$$g(x)\sim\displaystyle\sum_{n\ge 1} d_{n}\phi_{n}(x)$$

con coeficientes $c_n,d_n$

$$c_n=\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}}=\dfrac{\displaystyle\int_{a}^{b}f\left( x\right)\overline{\phi }_{n}\left( x\right) \;dx}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}}$$

$$d_n=\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}}=\dfrac{\displaystyle\int_{a}^{b}g\left( x\right)\overline{\phi }_{n}\left( x\right) \;dx}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}},$$

y si

$$\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\phi_{n}(x)\right\vert ^{2}dx=0$$

y

$$\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert g(x)-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}d_{n}\phi_{n}(x)\right\vert ^{2}dx=0,$$

entonces se cumple la siguiente igualdad

$$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{g}_{n}(x)\; dx=\displaystyle\sum_{n\ge 1} c_{n}\overline{d}_{n}||\phi_n||^2,$$

un caso particular del cual, para $g(x)=f(x)$ es

$$\displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|^2\; dx=\displaystyle\sum_{n\ge 1} |c_{n}|^2||\phi_n||^{2}.$$

Answer 4

Existe tal fórmula, pero $f$ y $g$ viven en dominios diferentes: Dejemos que $f: t\mapsto f(t)$ sea periódica con periodo $1$ y $g: k\mapsto g(k)$ sea una función definida en $\mathbb Z$ . Ambas funciones tienen transformadas de Fourier definidas por $$\hat f(k)=\int_0^1 f(t) e^{-2\pi i k t} dt, \ \ \ \hat g(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty g(k)e^{-2\pi i k t}.$$ Poner $h(t):= \overline{\hat g(t)}$ ; esta es una función del periodo 1. Entonces $$h(t)= \sum_{k=-\infty}^\infty \overline{g(k)}e^{2\pi i k t},$$ por lo que los coeficientes de Fourier de $h$ vienen dadas por $\hat h(k)=\overline{g(k)}$ . Por lo tanto, por el teorema de Parseval para las series de Fourier se tiene $$\int_0^1 f(t)\hat g(t)dt = \int_0^1 f(t)\overline{h(t)}dt=\sum_{k=-\infty}^\infty \hat f(k)\overline{\hat h(k)}=\sum_{k=-\infty}^\infty \hat f(k) g(k).$$