Es una máxima abrir simplemente conectado subconjunto $U$ de un colector $M$, necesariamente densa?

Question

Hay un breve argumento usando el lema de Zorn y la compacidad de $[0,1]$, lo que muestra cada colector debe tener la máxima abrir simplemente conectado subespacios.

Sin embargo, me pregunto si es necesariamente el caso de que estos subespacios son densos. Parece bastante obvio para mí que debe ser denso, pero estoy teniendo algunas dificultades con la prueba. Es esto cierto, o no me falta la imaginación para llegar con un contraejemplo?

Como Nate señaló, yo debería haber requerido el colector de estar conectado.

Answer 1

Las siguientes respuestas de una forma más débil de su pregunta, es decir, es cierto que cada conectado topológico colector contiene un abierto denso simplemente conectado subconjunto? La respuesta a esta pregunta es positiva, y más aún es verdadera:

Teorema. Cada conectado topológico $n$-colector contiene un abierto denso subconjunto homeomórficos a $R^n$.

Esto se deduce del teorema de R. Berlanga "Un mapeo teorema de topológico sigma-compacto colectores", de Naturaleza Matemática, 1987, vol. 63, 209-216.

Berlanga del teorema generalizado de una obra anterior de M. Brown, que resultó ser el mismo teorema de topológicos compactos colectores. (El caso de triangular los colectores es fácil, pero sirve como una guía para las pruebas de la categoría topológica.)

Berlanga del teorema de la no respuesta, sin embargo, la cuestión de si cada máxima simplemente conectado a abrir subconjunto denso en $M$.