Un ejercicio de Peter Petersen

Question

Mi pregunta es un ejercicio de Peter Petersen "Geometría de Riemann" Capítulo 5 #10

Deje $N \subset M$ ser un submanifold de Riemann colector $(M,g)$.

(a) La distancia de N a $x \in M$ se define como $d(x,N) = \inf\{ d(x,y)\ |\ p \in N\}$. Una unidad de velocidad de la curva de $\sigma : [a,b] \to M$ $\sigma(a) \in N,\sigma(a)$ $l(\sigma) = d(x,N)$ se llama un segmento de$x$$N$. Mostrar que $\sigma$ es también un segmento de $N$ cualquier $\sigma(t),t<b$. Mostrar que $\sigma'(a)$ es perpendicular a $N$.

(b) Mostrar que si $N$ es un subespacio cerrado de $M$ $(M,g)$ es completa, entonces cualquier punto en $M$ puede estar unido a $N$ por segmentos.

(d) Muestran que $d(\dot \ ,N)$ es suave en un barrio de $N$ y que las curvas integrales para su gradiente son la geodesics que perpendicular a $N$.

Por favor me den una respuesta lo más completa posible. Muchas gracias!

Answer 1

a) Asumir la $\sigma_{[a,t]}$ no es un segmento de $\sigma(t)$ $N$algunos $a < t < b$. A continuación,$d(\sigma(t),N) < l(\sigma_{[a,t]})$. Entonces existe algún punto de $q \in N$ tal que $d(q,\sigma(t) < l(\sigma_{[a,t]})$. Así $$l(\sigma) = d(\sigma(b),N) \leq d(\sigma(b),q) \leq d(q,\sigma(t)) + d(\sigma(t),\sigma(b)) < l(\sigma_{[a,t]}) + l(\sigma_{[t,b]}) = l(\sigma),$$ a contradiction. Assume $\sigma'$ is not perpendicular to $N$. Then there is a smooth curve $\alpha$ in $N$ having an angle strictly less than $\pi/2$ to $\sigma$. It follows from the first variation formula that $\sigma$ is not the shortest connection from $\sigma(t)$ to $\alpha$ for $t$ close to $a$.

b) Vamos a $p \in M$ $x_n$ ser una secuencia en $N$ tal que $r := d(N,p) = \lim_{n \to \infty}d(x_n,p).$ $x_n \in \overline{B}_{r + 1}(p)$ todos los $n \geq n_o$ y algunos $n_0$. Cerrado desde entonces bolas son compactos, existen algunas convergente larga, que se llamará $x_n$. Así que vamos a $x_n \to x$. Elegir la más corta longitud de arco geodesics $\gamma_n$$p$$x_n$. Desde $M$ es completa, existe una uniformemente convergente subsequence $\gamma_{\tilde n} \to \gamma$ (una de las necesidades de Hopf Rinow o Arzela Ascoli aquí). Desde $l(\gamma) = \lim l(\gamma_n)$ $\gamma$ será un segmento.

c) las necesidades de Este un hecho bien conocido en el fin de ser fácil: Para un buen submanifold $N$ existe un entorno $U$ de la sección cero de la normal paquete tal que la normal, exponencial mapa, yo lo llamo simplemente $\exp$, es un diffeomorphism en su imagen. Uno también puede asumir que $M$ es completa, ya que las preguntas son locales. Ahora vamos a $p \in U$ $\gamma$ ser un menor de conexión de$p$$N$. A continuación, este segmento es perpendicular a $N$, por lo que es de la forma $t \mapsto \exp(tv)$ para algunos vector normal a $N$. Desde $\exp$ es inyectiva este segmento es único. Para averiguar el gradiente sin cálculo se puede argumentar así: Para el gradiente $X$ de una función de distancia $f$ uno siempre ha $||X|| = 1$. Desde el nivel de los conjuntos los conjuntos de distancia constante de uno ha $df(v) = 0$ todos los $v$ tangente a un conjunto de nivel. Y por la de arriba ha $df(\dot \gamma (t)) = 1$ para una longitud de arco segmento de $\gamma$. Desde el nivel de los conjuntos de codimension $1$ vemos que $\dot \gamma$ debe ser igual a la pendiente.