Propiedad con derivados parciales

Question

Permita que$f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función diferenciable. Para cada$x \in \mathbb{R}$, defina una función$g_x: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ por$g_x(y)=f(x,y)$. Supongamos que para cada$x$, hay una y única tal que$g_x'(y)=0$; dejar$c(x)$ ser este$y$.

Supongamos que la derivada parcial$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \neq 0$ para todos$(x,y)$. Demuestre que$c$ es una función diferenciable y$$c'(x)=-\frac{\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}(x,c(x))}{\frac{\partial^2f}{\partial^2 y}(x,c(x))}$ $

Answer 1

Bueno,$ \frac{\partial g_x}{\partial y}(c(x)) = \frac{\partial f}{\partial y}(x,c(x)) = 0 $ para todos$x$. Intenta diferenciar con respecto a$x$ usando la regla de la cadena. Después de organizar los términos, verá que funciona.