Induce medida entre espacios topológicos.

Question

Permita que$X$ y$Y$ sean espacios topológicos, suponga que la función$f:X\rightarrow Y$ es una superación continua. Permita que$\mu$ sea una medida regular en$X$, y$M_X$ el conjunto de$\mu$ - conjuntos medibles en$X$. Podemos inducir una medida en$Y$ definir en$\sigma$ - álgebra$M_Y=\{A\subset Y: f^{-1}(A)\in M_X\}$ como$$\nu(A)=\mu(f^{-1}[A])$ $

¿Qué condiciones debemos imponer para que la medida$\nu$ sea regular?

Supuse que$\mu$ eran regulares pero no obtuve nada.

¿Cualquier pista?

Answer 1

Dejar $A\in M_Y$. Entonces$$\nu(A)=\mu\big(f^{-1}(A)\big)=\sup\big\{\mu(K):K\subseteq f^{-1}(A),K \text{ compact}\big\},$ $ desde$\mu$ es regular. Ahora, para$K\subseteq f^{-1}(A)$ con$K$ compacto,$f(K)\subseteq A$ también es compacto y$K\subseteq f^{-1}\big(f(K)\big)$. Entonces$\nu\big(f(K)\big)=\mu\Big(f^{-1}\big(f(K)\big)\Big)\geq\mu(K)$ y$\nu$ es regular.