Respecto al cono dual en un espacio normado

Question

$X$ es un espacio normado y $C\subset X$ un cono convexo y cerrado ( $\lambda C\subset C\ \forall \lambda\geq0$ ), y $C':=\{x'\in X':x'(x)\geq0\ \forall x\in C\}$ el cono dual de $C$ .

Quiero mostrar:

$(i):\quad C\neq X\Rightarrow C'\neq\{0\}$

$(ii):\quad x'(x)\geq0\ \forall x'\in C'\Rightarrow x\in C$

Como en clase hablamos de los teoremas de separación, mi planteamiento hasta ahora era:

Sea $C\neq X$ entonces $\exists x_0\notin C$ . Entonces $\{x_0\}$ es cerrado y convexo, el Teorema de Separación de Hahn-Banach proporciona $x_0'$ tal que $x_0'(x_0)<\inf_{x\in C}x_0'(x)\leq0$ .

Aquí es donde estoy atascado...

Answer 1

Tu planteamiento es bueno, sólo tienes que utilizar la propiedad cono de $C$ : Por el teorema de separación existen $a\in \mathbb{R}$ y $x_0^*\in X^*$ tal que $$x_0^*(x_0)<a<x_0^*(x), \ \forall x\in C.$$

Si existiera un $y_0\in C$ tal que $x_0^*(y_0)<0$ entonces $ny_0\in C$ para cada $n\in \mathbb{N}$ Así que $\lim_{n\rightarrow \infty} x_0^*(ny_0) =-\infty$ lo que contradiría el hecho de que $x_0^*(x_0)<a<x_0^*(x), \ \forall x\in C.$ Así que $x_0^*(x)\geq 0$ para cada $x\in C$ . Desde $x_0^*(0)=0$ y $0\in C$ tenemos que $a<0$ . De este modo se resuelven simultáneamente los puntos (i) y (ii).