Problema
Deje $f_1,f_2,\ldots, f_n$ ser funcionales lineales en un espacio vectorial $X$. Demuestran que existen constantes $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ satisfactorio $$f=\sum_{i=1}^n\lambda_i f_i$$ if and only if $\bigcap_{i=1}^n \ker f_i \subconjunto \ker f$.
Intento
Si existen constantes $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ satisfacción $$f=\sum_{i=1}^n\lambda_i f_i,$$ a continuación, $x\in \bigcap_{i=1}^n \ker f_i$ da $\sum_{i=1}^n\lambda_i f_i=0$. Por otro lado, definir $$V=\{y\in\mathbb{R}^n:\exists x\in X \textrm{ such that } y=\left(f_1(x),\ldots,f_n(x)\right)\},$$ y $g:V \rightarrow \mathbb{R}$ por $$g\left(\left(f_1(x),\ldots,f_n(x)\right)\right)=f(x).$$ $V$ is seen to be a vector subspace of $\mathbb{R}^n$. Si $\left(f_1(x),\ldots,f_n(x)\right)=\left(f_1(y),\ldots,f_n(y)\right)$ $f_i(x-y)=0$ $(x-y) \in \ker f_i$ todos los $i$. Por supuesto, $(x-y)\in \ker f$$f(x)=f(y)$. Por lo tanto $g$ está bien definido. Claramente $g$ es lineal. Denotar por $g^*$ lineal de la extensión de la $g$ a todos los de $\mathbb{R}^n$. Entonces no existe $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tal que $g^*(z_1,\ldots,z_n)=\sum_{i=1}^n\lambda_i z_i$. $\ ^{(1)}$ En particular, $(z_1,\ldots,z_n)=(f_1(x),\ldots,f_n(x))$ dar el resultado deseado.
Pregunta
Estoy teniendo problemas para justificar $(1)$. Es decir, ¿por qué podemos decir $g^*(z_1,\ldots z_n)=\sum_{i=1}^n \lambda_i z_i$?
