¿Qué es? $\lim_{x\to\infty} \sin x$ ?

Question

¿Qué es?

$$\lim_{x\to\infty} \sin x$$

?

Siempre pensé que era indefinido sin embargo, Wolfram|Alpha dice que

$$\lim_{x\to\infty} \sin x = -1 \text{ to } 1$$

Ahora bien, ¿cuál es la respuesta correcta? ¿Qué significa si el límite no es un valor único y distinto, sino un intervalo?

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Aparte de eso, ¿tengo razón al suponer que

$$\liminf_{x\to\infty} \sin x = -1$$

y

$$\limsup_{x\to\infty} \sin x = 1$$ ?

Answer 1

El límite no existe y se puede demostrar formalmente mediante 2 subsecuencias con límites diferentes, es decir

• $x_n=2n\pi+\frac{\pi}2 \to \infty \implies \sin(x_n)=1$

• $x_n=2n\pi+\frac{3\pi}2 \to \infty \implies \sin(x_n)=-1$

Sí lo que es cierto es que $\liminf=-1$ y $\limsup=1$ En efecto,

$$-1\le\sin x \le 1$$

y hemos encontrado 2 subsecuencias que tienden a esos límites.

Answer 2

Tenga en cuenta que la función seno toma valores entre $-1$ y $1$ . Cuando se habla de un límite para $\infty$ es un número indeterminado, que es infinitamente grande. Ahora, teniendo en cuenta la periodicidad de la función seno, no hay manera posible de determinar un valor específico, ya que depende totalmente de la naturaleza del número "infinito".

Más concretamente, $-1 \leq \sin(x) \leq 1, \; \; \forall x \in \mathbb R$ . Esto significa que para cualquier $x$ sobre los números reales, la función seno está acotada. Así, todo lo que se puede decir sobre un límite infinito indeterminado (no existe hablando estrictamente de matemáticas), es :

$$-1 \leq \lim_{x \to \infty} \sin(x) \leq 1$$

Sin embargo, lo que mencionas es cierto:

$$\liminf_{x\to\infty} \sin x = -1$$

$$\limsup_{x\to\infty} \sin x = 1$$