Permita que$R$ sea un anillo no conmutativo. ¿Hay dos elementos$x,y\in R$ tales que$xy-yx=1_{R}$? He demostrado que es cierto para$R$ que es un álgebra con dimensión finita. Lo siento, cometí un error, no debería ser cierto para$R$ que es un álgebra de dimensión finita sobre un campo con char$0$.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Para una álgebra de dimensión finita positiva sobre un campo de característica$0$, la respuesta siempre es no , ya que$1=xy-yx$ implica que la traza de multiplicación por$1$, que es la dimensión de su álgebra desaparece
Sin embargo, hay un ejemplo muy destacado de un álgebra que tiene la propiedad deseada, es decir, el álgebra de Weyl $k\langle x,\partial\rangle/([x,\partial]=1)$ que actúa fielmente en el anillo polinómico por multiplicación y diferenciación.
learnmore
Puntos
6307
Lo intenté con este anillo no conmutativo y encontré que la respuesta era no. Por favor, compruebe.
Considere el anillo$R$ de todos los elementos de la forma$a_0+a_1i+a_2j+a_3k$ donde$a_i's \in \mathbb R$. La adición se define por componentes. También la multiplicación se define como de costumbre siguiendo la relación$i^2=j^2=k^2=-1; ij=jk=ki=1; kj=ji=ik=-1$. Pero no puedo encontrar elementos en$R$ que satisfagan la relación dada.
