¿Probabilidad que polígono formado por n puntos en un círculo contiene al centro del círculo?

Question

He visto similares preguntas que se hacen en este foro, pero no podía encontrar ese punto exacto del problema.

Así que hay n puntos seleccionados uniformemente al azar en un círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que el polígono de estos n puntos que contiene el centro del círculo?

Ahora, tomando el ejemplo de una pregunta similar a la probabilidad de que todos estos n puntos se encuentran dentro de un semicírculo,

Supongamos que marca el punto más inferior del círculo como cero. A partir de ahí, nos movemos a la derecha y buscar el primer punto, digamos que el punto i, a una distancia x a lo largo de la circunferencia.

Ahora, la probabilidad de que el siguiente n-1 puntos se encuentran dentro de la longitud de arco $(x, x+\frac12)$$P = { (\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ n-1 }$, que es la probabilidad de que estos n puntos se encuentran dentro de un semicírculo. La probabilidad de que éstos no se encuentran en el mismo semicírculo, a continuación, vuelve $1-P.$

Claramente, si estos n puntos se encuentran dentro de un semicírculo, su polígono no contiene el centro del círculo.

A continuación, el punto, podía ser cualquiera de los n puntos. Así que necesitamos tener en cuenta para todos los n posibilidades de ser el primer punto. Pero, si la probabilidad final se $1-nP$ o $n(1-P)$?

Answer 1

La respuesta es $1-nP = 1-\frac{n}{2^{n-1}}$. Usted puede ver esto como sigue:

Seleccionar y fijar una dirección alrededor del círculo (a la derecha o a la izquierda). Para el $i$-ésimo punto de $X_i$ seleccionado, ¿cuál es la probabilidad de que todos los otros puntos no dentro de la semi-círculo iniciado por $X_i$ y en la dirección seleccionada? La respuesta es $P=\frac1{2^{n-1}}$. Si ese es el caso, entonces el centro del círculo no se encuentran dentro del polígono.

Por el contrario, si el centro del círculo no se encuentran dentro del polígono, debe haber un par de 'consecutivos (en la dirección elegida alrededor del círculo) de puntos que están más que un semi-círculo de distancia (en esa dirección). El primero de ellos se llena el papel de el punto de $X_i$ por encima.

En suma, en el centro del círculo no se encuentran dentro del polígono iff existe un punto de $X_i$ de manera tal que todos los puntos en los que no están dentro de la semi-círculo iniciado por $X_i$ y va en la dirección elegida.

También hemos conocido la probabilidad de ese evento, si se eligió el índice de $i$ antemano: $P=\frac1{2^{n-1}}$

Para obtener la probabilidad de que esto sucede para cualquier $i$, se aplica el principio de inclusión y exclusión.

Lo bueno es que las fórmulas que se ponen realmente fácil, porque la probabilidad de que ocurra el evento para más de un índice es cero!!! Que implicaría dos diferentes que no se superponen (en la mayoría de tocar en la final) segmentos sin puntos escogidos en el interior, que son tanto más que un semi-círculo. Que no puede suceder, por supuesto.

Esto significa que la probabilidad de que para cualquier índice $i$ el punto de $X_i$ inicia un 'vacío' semi-círculo es sólo la suma de todas las simples probabilidades, es decir,$\frac{n}{2^{n-1}}$.

Puesto que usted está buscando para el caso contrario, la probabilidad que buscamos es $1-\frac{n}{2^{n-1}}$

Answer 2

Asumir que el radio del círculo es uno. $A=P(\text{convexchull of n points does not contain the center})=P(\text{all points lie in an arc of length less than $ \pi$})$. Supongamos que tenemos $n$puntos ahora. Primero ordenarlos clockwisely y dejar que los puntos a ser $P_1,P_2,...,Pn$. Luego ${\text{all points lie in an arc of length less than $\pi$}}=\cup{i=1}^{n} A_i$ donde $A_i={\text{the angle between $ P_j$ and $P_i$ is lesser or equal to $\pi$ clockwisely for all $j$}}$. Y $P(A_i)=\frac{1}{2^{n-1}}$. Y $A_1,A_2,...,An$ pairwisely separado así $P(A)=\sum{i=1}^{n}P(A_i)=\frac{n}{2^{n-1}}$. Entonces la respuesta es $1-P(A)=1-\frac{n}{2^{n-1}}$.