Algebraica De Identidad $a^{n}-b^{n} = (a-b) \sum\limits_{k=0}^{n-1} a^{k}b^{n-1-k}$

Question

Demostrar los siguientes: $\displaystyle a^{n}-b^{n} = (a-b) \sum\limits_{k=0}^{n-1} a^{k}b^{n-1-k}$.

Por lo que se podría utilizar la inducción en $n$? Se podría también utilizar tricotomía o algún tipo de combinatoria argumento?

Answer 1

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Prueba por inducción

$n=1$ es válido.

Supongamos válido por n, entonces

$$a^{n+1}-b^{n+1}=a(a^{n})+b(b^{n})$$, usando la hipotesis :

$$a(a^{n})+b(b^{n})=a\left[b^{n}+(b-a)\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1} a^{k}b^{n-1-k}\right] + b\left[a^{n}-(b-a)\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1} a^{k}b^{n-1-k}\right]=$$

$$\left[ab^{n}+(b-a)a\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1} a^{k}b^{n-1-k}\right] + \left[a^{n}b-(b-a)b\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1} a^{k}b^{n-1-k}\right]=$$

$$\left[ab^{n}+(b-a)\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1} a^{k+1}b^{n-1-k}\right] + \left[a^{n}b-(b-a)\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1} a^{k}b^{n-k}\right]=$$

$$\left[ab^{n}+(b-a)\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1} a^{k+1}b^{n-1-k}+(b-a)b^{n}-(b-a)b^{n}\right] +$$ $$ \left[a^{n}b-(b-a)\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1} a^{k}b^{n-k}-(b-a)a^{n}+(b-a)a^{n}\right]=$$

$$\left[(b-a)[\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1} a^{k+1}b^{n-1-k}+b^{n}]+b^{n+1}\right] +\left[(b-a)[\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1} a^{k}b^{n-k}+a^{n}]-a^{n+1}\right] +$$

$$\left[(b-a)\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} a^{k}b^{n-k}+b^{n+1}\right] +\left[(b-a)\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} a^{k}b^{n-k}-a^{n+1}\right] =$$

$$-a^{n+1}+b^{n+1}+2\left[(b-a)\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} a^{k}b^{n-k}\right] =$$

Por lo tanto: $$a^{n+1}-b^{n+1}=-a^{n+1}+b^{n+1}+2\left[(b-a)\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} a^{k}b^{n-k}\right] $$, entonces

$$2(a^{n+1}-b^{n+1})=2\left[(b-a)\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} a^{k}b^{n-k}\right]$$

por lo tanto:

$$a^{n+1}-b^{n+1}=\left[(b-a)\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} a^{k}b^{n-k}\right]$$

Por lo $n+1$ es válido.

Completar la prueba

Answer 2

No tengo idea de lo que quieres decir por "uso de la tricotomía," pero aquí está la combinatoria argumento. $a^n$ cuenta el número de palabras de longitud $n$ sobre el alfabeto $\{ 1, 2, ... a \}$ $b^n$ cuenta el número de palabras de longitud $n$ sobre el alfabeto $\{ 1, 2, ... b \}$. Suponga $a > b$. A continuación, $a^n - b^n$ cuenta el número de palabras de longitud $n$ sobre el alfabeto $\{ 1, 2, ... a \}$ de manera tal que al menos una letra es mayor que $b$.

Dada una palabra, supongamos que la última letra mayor que $b$ se produce en la posición $k+1$. Luego hay $a - b$ opciones para esta carta, $a^k$ opciones para las letras antes de esta carta, y $b^{n-k-1}$ opciones para las letras después de esta carta. Por lo tanto, hay $(a - b) a^k b^{n-k-1}$ tales palabras, y sumando sobre todos los $k$ da

$$a^n - b^n = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-k-1}$$

como se desee.

Answer 3

Usted puede aplicar Ruffini la regla. Aquí está una copia de mi libro de texto de Álgebra (Compêndio de Álgebra, VI, por Sebastião e Silva y Silva Paulo), donde la siguiente fórmula se obtiene:

$x^n-a^n\equiv (x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+a^2x^{n-3}+\cdots +a^{n-2}x+a^{n-1}).$

Traducción: El de Ruffini la regla puede ser utilizado para encontrar el cociente de $x^n-a^n$$x-a$:

(Figura)

Por lo tanto, si $n$ es un número natural, tenemos

$x^n-a^n\equiv (x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+a^2x^{n-3}+\cdots +a^{n-2}x+a^{n-1})$

Answer 4

Alguien debería hablar de la "polinomio de multiplicación" o "telescópica" la prueba, lo que puede considerarse como una variante de la "serie geométrica" método.

$$\begin{align*} (a-b)\sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k} &= \sum_{k=0}^{n-1} a^{k+1} b^{n-1-k} - \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-k} \\ &= \sum_{k=1}^n a^k b^{n-k} - \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-k} = a^n - b^n. \end{align*}$$