¿Si d es una norma en V, es $\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$ una norma en V?

Question

Deja d ser una norma en un espacio vectorial V y deje $\psi:V \to [0,\infty)$ ser una función definida como $\psi(v)=\frac{d(v)}{1+d(v)}$. Es $\psi$ una norma en $V$?

Parece que $\psi$ no cumple la homogeneidad de la propiedad de una norma. He intentado una prueba por contradicción, pero creo que mi contradicción puede ser incorrecta. Cualquier comentario sobre la exactitud de la prueba y las formas alternativas de abordar el problema es de agradecer.

Supongamos que para todos los $\alpha\in\mathbb{R}$ y para todos $v\in V$, $\;\psi(\alpha v)= |\alpha|\psi(v)$.
Desde $\psi(\alpha v)= \frac{d(\alpha\;v)}{1+d(\alpha\;v)} = \frac{|\alpha|d(v)}{1+|\alpha|d(v)}$, tenemos $$\frac{|\alpha|d(v)}{1+|\alpha|d(v)}= |\alpha|\psi(v)$$$$\frac{d(v)}{1+|\alpha|d(v)}= \psi(v)$$Which is only true when $|\alpha| = 1$ (contradicción).

Answer 1

Estoy de acuerdo con su respuesta: no es una norma.

Sin embargo, es a distancia, creo.

Answer 2

De hecho no es una norma, pero merece la pena señalar que una función se define una métrica. Homogeneidad de primer grado, no que se requiere de una norma, pero no una métrica.