Piscina de ácido, camino óptimo

Question

El malvado Dr. Friendless ha secuestrado a la familia de Gregor y les ha puesto una bomba. Esta bomba es imposible de desconectar a menos que se utilice una llave especial. La cual, por supuesto, el Dr. Friendless ha colocado dentro de un mono en el fondo de una piscina en la que ha vertido ácido.

La piscina viene dada por la ecuación

$$ f(x,y) = - \frac{2}{5}x - 1, \quad x,y \in (0,10) $$

Y después de cierto tiempo la cantidad de ácido en el punto $x,y,z$ viene dada por la función vectorial

$$ A(x,y,z) = 10- \frac{x}{10} - y - \frac{z}{5} $$

Como se ha señalado Gregor necesita nadar desde el final de la piscina en $(0,0,0)$ hasta el fondo $(10,10,-5)$ para recuperar la llave. Si el intenta algo extravagante como caminar alrededor de la piscina, o el uso de una máscara de buceo Dr.Friendless al instante se fríe su familia.

• La pregunta ahora es: ¿Cuál es el camino óptimo que Gregor puede nadar desde $(0,0,0)$ a $(10,10,-5)$ para obtener la menor cantidad de veneno?

Es decir, minimizar la integral de línea

$$ \int_{(0,0,0)}^{(10,10,-5)} A(\overrightarrow{r}(t)) \overrightarrow{\mathbf{r'}}(t)\,\mathrm{d}t $$ encontrando la parametrización óptima.

Intenté varios caminos, como una línea recta y yendo a lo largo del borde, pero no pude ver cómo podía elaborar el camino que contenía la menor cantidad de ácido.

Answer 1

El camino que minimiza la integral

$$\int_{(0,0,0)}^{(10,10,-5)} A(\overrightarrow{r}(t)) |\overrightarrow{\mathbf{r'}}(t)|\,\mathrm{d}t = \int_{(0,0,0)}^{(10,10,-5)} A(\overrightarrow{r}(s)) ds$$

viene dada por la ecuación diferencial

$$\frac{d^2}{d s^2} \overrightarrow{r}(s) = \frac{1}{2}\overrightarrow{\nabla}[A(\overrightarrow{r}(s))^2] = \left(\frac{x}{100}+\frac{y}{10}+\frac{z}{50}-1,\frac{x}{10}+ y+\frac{z}{5}-10,\frac{x}{50}+\frac{y}{5}+\frac{z}{25}-2\right)$$

donde $s$ es un parámetro de longitud de arco, que elijo normalizar de manera que la integral anterior corresponda a $s=0$ a $s=1$ . La ecuación resulta del Principio de Fermat y es equivalente al Principio de Mínima Acción, que en mecánica clásica da lugar a la ley de Newton. En óptica, la distribución de ácidos equivale a un índice de refracción, y la ecuación para el trazado de rayos en un medio de índice variable (conocido como índice de gradiente) resulta de esta ecuación.

Podemos resolver este conjunto de ecuaciones diferenciales de pareja con las condiciones de contorno

$$\overrightarrow{r}(0)=(0,0,0)$$ $$\overrightarrow{r}(1)=(10,10,-5)$$

El resultado es (obtenido con Mathematica):

$$[x(s),y(s),z(s)]=\left[\frac{10 \left(-19 s-2 e^{-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{21}{5}} (s-2)}+2 e^{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{21}{5}} s}+e^{\sqrt{\frac{21}{5}}} (19 s+2)-2\right)}{21 \left(e^{\sqrt{\frac{21}{5}}}-1\right)},\frac{10 \left(-s-20 e^{-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{21}{5}} (s-2)}+20 e^{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{21}{5}} s}+e^{\sqrt{\frac{21}{5}}} (s+20)-20\right)}{21 \left(e^{\sqrt{\frac{21}{5}}}-1\right)},\frac{5 \left(e^{\sqrt{\frac{21}{5}}} (8-29 s)-8 e^{-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{21}{5}} (s-2)}+8 e^{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{21}{5}} s}+29 s-8\right)}{21 \left(e^{\sqrt{\frac{21}{5}}}-1\right)}\right]$$

recordando que $s \in [0,1]$ . Se puede calcular la cantidad de ácido que se absorbe a lo largo de este camino integrando la distribución de ácido a lo largo de este camino.