Verde ' representación de la s como una solución clásica de Poisson ' ecuación de s

Question

Si existe función % de Green $ G(x,y) $y si tenemos $ u \in C^2(\Omega) $ tal que u(x) $$ = \int\Omega G (x, y) f (y) dy - \int{\partial\Omega}\frac{\partial G}{\partial\nu}(x,y)g(y)dS(y) $$ then under what conditions of $ \Omega, f $ and $g $ will $u$ ser una solución del problema\begin{equation} \begin{cases} -\Delta u = f & in\ \Omega \ u = g & in\ \partial\Omega \end{casos} \end {} ecuación } bajo condiciones habituales de $\Omega$ $ g \in C^1(\partial\Omega) $ se puede comprobar que $ u = g $ $ \partial\Omega$ pero ¿cómo calcular el Laplaciano de $u$?