Es la palabra "cualquier" $\forall$ o $\exists$?

Question

Me preguntaba cómo debe ser la palabra "cualquier" ser utilizado en el contexto matemático. Es un "para todos" o un "no existe"?

Por ejemplo, supongamos que me dijo algo como

Un conjunto $X$ es llamado agradable si $P(x)$ mantiene para cualquier $x\in X$.

Significaría eso que $X$ es bueno sólo si todos sus elementos satisfacer $P$, o que $X$ es bueno siempre como uno de sus elementos satisface $P$?

Personalmente, siempre he asumido el segundo caso, pero el inglés no es mi lengua madre, y he visto la palabra que se usa en ambos sentidos.

Answer 1

Aquí está la opinión de P. Halmos, extraídos de su muy recomendable el artículo Cómo escribir matemáticas, p. 142:

El punto es que en el inglés cotidiano "cualquier" es un término ambiguo; dependiendo del contexto puede entrever un cuantificador existencial ("han cualquier lana ?", "si cualquiera puede hacerlo, él puede") o un universal ("cualquier número puede jugar"). Conclusión: nunca uso de "cualquier" en matemática escrito. Sustituirlo por "cada" o "todos", o refundición de toda la frase.

Answer 2

Según el diccionario, "cualquiera" puede significar "uno, algunos, todos, todos". A menudo es obvio por el contexto en el cual se quiere, pero no siempre. Cuidado de los escritores de las matemáticas trate de elegir un término más específico. Por ejemplo, Halmos nunca se usa "cualquiera". Así que no hay respuesta a su pregunta. Cada vez que usted viene a través de "cualquier" hay que tratar de averiguar, desde el contexto de lo que el autor quiso decir.

Answer 3

$\newcommand{\eps}{\varepsilon}$Buena escritura facilita la comprensión.

En mi experiencia, el mayor riesgo de confusión proviene de un predicado de la forma "si...":

• Una función de $f$ es continua en a $a$ si por cualquier $\eps > 0$, hay un $\delta > 0$ que si $|x - a| < \delta$,$|f(x) - f(a)| < \eps$. (Aquí, "todo" significa "todo".)

• Una función de $f$ es discontinua en un conjunto $A$ si por cualquier $a$ en $A$, $f$ es discontinua en a $a$. (Aquí, "cualquier" medio "algunos".)

En cada caso, la intención del significado está lejos de ser evidente hasta la definición de continuidad ha sido absorbido. Incluso entonces, "si por cualquier" hace que incluso un lector fluido parar y volver a leer, se rompe el tren de pensamiento.

En otras palabras, la frase obstruye el aprendizaje y dificulta la comunicación. Pertenece sólo en los manuales de interpretación de sabotaje.

Answer 4

Esto se está convirtiendo en una de las clases de inglés. Aquí está mi opinión sobre ella como un nativo de inglés (reino unido) altavoz: si un gorila le dice a un grupo de estudiantes:

"Todos serán arrojados fuera de este bar, si alguno de ustedes se porta mal."

El portero de la "cualquiera" es un cuantificador existencial: una mala conducta por parte de un estudiante significa que el grupo va a ser arrojado fuera. Que es como "Un conjunto $X$ es llamado agradable si $P(x)$ mantiene para cualquier $x$ $X$" lee para mí (uno, todos en).

No sé si Tate o Halmos trabajado alguna vez como porteros, pero yo recomendaría su evitación de la cuantificación sobre "cualquier" (en lugar de "algunos" o "todo") en un contexto matemático, a menos que usted está muy seguro de que lo que usted ha escrito no es ambigua o engañosa.

Answer 5

Es mi entendimiento de que todo esto es acerca de la diferencia entre las palabras $\textit{some}$$\textit{any}$.

$\textit{any}$ significa $\forall$, $\textit{some}$ significa $\exists$.