Frenado suave: ¿por qué $\hat{k}\cdot\mathbf{v}= \mathbf{v}'\cdot\mathbf{v}$?

Question

En la página 181 en Peskin & Schroeder dicen que consideramos la integral (intensidad) $$\tag{1}\mathcal{I}(\mathbf{v},\mathbf{v}') = \int\frac{\mathrm{d}\Omega_\hat{k}}{4\pi}\,\frac{2(1-\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}')}{(1-\hat{k}\cdot\mathbf{v})(1-\hat{k}\cdot\mathbf{v}')}-\frac{m^2/E^2}{(1-\hat{k}\cdot\mathbf{v}')^2}-\frac{m^2/E^2}{(1-\hat{k}\cdot\mathbf{v})^2}$$ en el extremo límite relativista (ERL). Luego dicen que en este límite de la mayor parte de la energía radiada viene de los dos picos en el primer término de $(1)$. Es esto debido a que en la ERL uno puede tomar la masa de $m$ cero: $m=0 ~(\text{ERL})$ tan sólo el primer término de $(1)$ permanece?

La siguiente pregunta es lo que realmente quiero una explicación para: dicen que en (ERL) nos rompen la integral en una pieza para cada pico, vamos a $\theta=0$ a lo largo de la cima en cada caso. Integrar a través de una pequeña región alrededor de $\theta=0$, como sigue: $$\etiqueta{2}\mathcal{I}(\mathbf{v},\mathbf{v}') \approx \int_{\hat{k}\cdot\mathbf{v}= \mathbf{v}'\cdot\mathbf{v}}^{\cos\theta=1}\mathrm{d}\cos\theta\,\frac{(1-\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}')}{(1-v\cos\theta)(1-\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}')} \\[1cm] +\int_{\hat{k}\cdot\mathbf{v}'= \mathbf{v}'\cdot\mathbf{v}}^{\cos\theta=1}\mathrm{d}\cos\theta\,\frac{(1-\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}')}{(1-v'\cos\theta)(1-\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}')}. $$

Luego dicen que el límite inferior no son realmente tan importantes, pero en cualquier caso: mi pregunta es donde los límites inferiores viene y cómo sobre la sustitución en el denominador del integrando, en otras palabras: ¿Cómo hace uno para ir de$(1)$$(2)$?

Debo añadir que $\mathbf{v}, \mathbf{v}'$ la velocidad de las partículas antes y después de la interacción. Creo que uno debe tener acceso al libro para entender la pregunta, por desgracia, aparte de eso, sólo quiero entender donde los límites inferiores de la integral.

NOTA: PS están trabajando en un marco donde$p^0=p^{'0}=E$, lo que (según ellos) implica $$k^\mu=(k,\mathbf{k}),~~p^\mu=E(1,\mathbf{v}),~~p^{'\mu}=E(1,\mathbf{v'}) $$ where (I guess) $k=||\mathbf{k}||. $ Then for instance $(k_\mu p^\mu)^2$ becomes $(Ek)^2\left(1-\frac{\mathbf{k}}{k}\cdot\mathbf{v}\right)^2$ which is (I assume) one of the denominators (up so some factors) in $(1)$. So I guess the correct notation in $(1)$ debe ser $$\tag{3}\mathcal{I}(\mathbf{v},\mathbf{v}') =\int \dots-\frac{m^2/E^2}{\left(1-\hat{\mathbf{k}}\cdot\mathbf{v}'\right)^2}-\frac{m^2/E^2}{\left(1-\hat{\mathbf{k}}\cdot\mathbf{v}\right)^2}. $$

En general, el mal se utiliza la notación de la OMI en las páginas cerca de 181 en PS.

Answer 1

No estoy seguro de si mi respuesta es correcta, de lo que he entendido:

(i) En el límite relativista, $m<<E$, para el segundo y tercer términos en (6.15) será insignificante, tal y como lo dijo.

(ii) P&S es el objetivo en $\hat{k}$ paralelo a $\mathbf{v}$ o $\mathbf{v}'$ y la integración en torno a $\theta=0$, ya que (6.15) picos de allí (ref mi comentario debajo de esta respuesta). Para el límite inferior de integración en el primer término de su Eq. (2), $\hat{k}$ es paralelo con $\mathbf{v}'$. Así $$\hat{k} \cdot \mathbf{v} = v \cos \theta \approx \cos \theta $$, since at the relativistic limit, $v \aprox 1$ (ref bottom of p180). And $$\mathbf{v}' \cdot \mathbf{v}= v' v \cos \theta \approx \cos \theta$$. So the lower limit is valid for any $\theta$.

Para el límite inferior en el segundo término en su Eq. (2), $\hat{k}$ es paralelo a $\mathbf{v}$. Similar con el primer término, el límite inferior es válido para cualquier $\theta$.

(iii) una Vez $$\hat{k} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v}' \cdot \mathbf{v} $$, we replace $ 1- \hat{k} \cdot \mathbf{v} $ as $1- \mathbf{v}' \cdot \mathbf{v} $, lo vamos a conseguir $$ \frac{ 1-\mathbf{v}' \cdot \mathbf{v} }{ ( 1- v' \cos \theta)( 1- \mathbf{v}' \cdot \mathbf{v} ) } $$. En el límite relativista, $v \approx v' \approx 1$. Creo que podemos utilizar $v$ $v'$ indistintamente. Desde P&S es el objetivo en una pequeña región alrededor de $\theta =0$, el integrando no va a cambiar. Es decir, nuestra reemplazo es válido en esta pequeña región.