Separación de variables - ¿Notación "formal"?

Question

Cuando utilizo la técnica de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales, a veces tengo tanto f(x) como g(y) en el lado derecho, y luego divido por g(y) para separarlas.... pero ¿cómo puedo explicar formalmente que se me permite hacer esto?

Se podría decir que g(y) no es igual a 0.... pero a menudo, g(y) = 0 ES una solución de una ecuación diferencial. Entonces, ¿qué?

No es una pregunta directamente relacionada con una tarea, es sólo que mi profesor quiere que seamos muy formales y expliquemos cada movimiento que hacemos en lugar de simplemente copiar los métodos del libro.

Answer 1

Obsérvese que al dividir por $g(y)$ es problemático siempre y cuando $g(a) = 0$ en cualquier lugar no sólo el caso particular de $g(y)$ siendo idéntico a cero.

Esto significa que el resultado de su cálculo sólo se garantizará en las regiones donde $g(y)$ es siempre distinto de cero.

Sin embargo, eso suele ser una lote de información, y a menudo no hace falta mucho trabajo para rellenar las lagunas de esa información o resolver por separado los casos restantes de los que esto no dice nada.

Como un ejemplo muy simple de cómo puede ir ese tipo de argumento, si usted sabe que $f(x)$ es diferenciable en todas partes y que en $x > 0$ , debe tener $f(x) = ax$ para alguna constante $a$ y que el $x < 0$ debes tener $f(x) = bx$ para alguna constante $b$ , entonces comprobando los límites unilaterales de $f$ y $f'$ se puede deducir que para alguna constante $c$ , usted tiene $f(x) = cx$ en todas partes.

(tenga en cuenta que, normalmente, en una situación así, no tiene a priori razón para esperar que la constante sea la misma en $x>0$ y $x<0$ por lo que he utilizado variables diferentes en esos casos antes de determinar que tienen que ser iguales)