Integrar

Question

$$\int \ln(x^2 +1)\ dx$$

He hecho usando integración por partes donde

$\int u\ dv = uv - \int v\ du$

Vamos $u$ = $\ln(x^2 +1)$

$du = \frac{2x}{x^2+1} dx $

Deje $dv = dx$ $v=x$

$\int \ln(x^2 +1)\ dx = x \ln (x^2 +1) - \int \frac{2x^2}{x^2+1} $

Puedo integrar $2\int \frac{x^2}{x^2+1} $ por separado por medio de la sustitución.

Vamos $u$ = $x^2 + 1$ -> $dx= \frac{1}{2x} du $

sustituto $u$ nuevo en esto tengo un simplificado $\int \frac{x}{x^2 + 1} dx$

He utilizado la sustitución de nuevo y me $ \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du$

Cuando me sub de nuevo en la pregunta original, esta es mi respuesta final,

$x\ln(x^2 +1) + \frac{1}{2} \ln(x^2 +1) + C$

Sin embargo, esta respuesta es errónea,

La respuesta es, $x\ln(x^2 +1) - 2x + 2\tan^{-1} (x) + C $

Creo que mi integración de $2\int \frac{x^2}{x^2+1} $ es malo. ¿De dónde me salió mal ?

Answer 1

Su integración por partes al principio es correcta. Verdaderamente :

ps

Ahora, manejando la segunda integral, primero vamos a factorizar la constante y escribimos$${\displaystyle\int}\ln\left(x^2+1\right)\,\mathrm{d}x =x\ln\left(x^2+1\right)-{\displaystyle\int}\dfrac{2x^2}{x^2+1}\,\mathrm{d}x$ como$x^2$ para dividirla:

ps

ps

ps

La integral ahora está resuelta y damos el resultado:

ps

Answer 2

$2\int \frac{x^2}{x^2+1} $

No es igual a la expresión con sólo una x en el numerador después de la sustitución. Usted puede añadir restar 1 en el numerador para integrar $2\int \frac{x^2}{x^2+1} $

Esto es incorrecto:-$2\int \frac{x^2}{x^2+1} $ esto es lo que se obtiene después de aplicar por partes:-$2\int \frac{x^2}{x^2+1} dx $ puesto que la diferencial de x es $dx$. En piezas fórmula tenemos diferencial de $u $ no es diferenciación.