Encontrar la continuidad y la diferenciabilidad de una función multivariante

Question

Determinar si las siguientes funciones son diferenciables, continuas y si sus derivadas parciales existen en el punto $(0,0)$ :

(a) $$f(x, y) = \sin x \sin(x + y) \sin(x y)$$

(b) $$f(x,y)=\sqrt{|xy|}$$

(c) $$f(x, y) = 1 \sin\sqrt{x^2 + y^2}$$

(d) $$f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2+y^2} & \text{if $x^2+y^2>0 $} \\ 0 & \text{if $x=y=0$} \end{cases}$$

(e) $$f(x,y) = \begin{cases} 1 & \text{if $x y \ne 0$} \\ 0 & \text{if $xy=0$} \end{cases}$$

(f) $$f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2} & \text{if $x^2+y^2>0$} \\ 0 & \text{if $x=y=0$} \end{cases}$$

Mi intento:

Para (a), utilizando la definición de la derivada para una función multivariante, el límite tiende a $0$ por lo que es diferenciable y su derivada parcial existe y es continua.

Para (b) mencioné que no es diferenciable ya que usando la definición de la derivada para una función multivariable, el límite no tiende a $0$ . Mientras es continua, como límite de la función $f(x,y)$ tiende a $0$ . Para determinar si existe su derivada parcial, esta parte es complicada debido al signo del módulo en la función, por lo que no estoy seguro de si un módulo es diferenciable para este caso.

Para la parte (c) debe ser continua pero no diferenciable en $(0,0)$ porque su derivada parcial no existe en $(0,0)$ . En cuanto a por qué no existen sus derivadas parciales, digamos que para encontrar $$f_x$$ dejamos que $y=0$ la expresión $f(x,y)$ se convierte en $1-\sin(|x|)$ que no es diferenciable en $(0,0)$ por lo que las derivadas parciales no pueden existir en $(0,0)$ .

Para (d), esta pregunta también es complicada, ya que aunque inicialmente pensaba que sus derivadas parciales existen, ahora pienso lo contrario. Porque si quiero diferenciar la función con respecto a $x$ por ejemplo, yo introduciría el valor de $y=0$ haciendo que el numerador sea un cero y por lo tanto asumiendo que la derivada es $0$ . Sin embargo, si se mira con detenimiento, sigue existiendo el denominador de $x^2$ y si $x^2=0$ el denominador se convierte en $0$ y como $0/0$ es indefinido, las derivadas parciales no existen. En cuanto a la continuidad, no es continua y por tanto no es diferenciable.

Para (e) No diferenciable, Discontinua, Derivadas parciales definidas (porque "no continuo" significará que no es diferenciable, pero no estoy seguro de la parte de las derivadas parciales porque parece que las derivadas parciales son $0$ pero también tengo la sensación de que las derivadas parciales no existen).

Para (f) No diferenciable, Continua, Derivadas parciales definidas. Esta pregunta parece ser similar a la pregunta (d)

Ya he intentado estas preguntas muchas veces, pero sigo respondiendo a estas preguntas incorrectamente. Sé que debo estar fallando en algunas partes, especialmente cuando se trata de preguntas complicadas que no son tan simples como podría parecer. ¿Podría alguien ayudarme, por favor? Gracias.

Answer 1

(a) es una composición de funciones diferenciables, entonces es diferenciable, y la contigua y la derivada parcial existen en $(0,0)$ .

(b) Es continua, y tenemos que las derivadas parciales son $f_x(0,0)=\displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}= \lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{|t0|}-\sqrt{|0\times0|}}{t}=0$ y $f_y(0,0)=\displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{f(0,t)-f(0,0)}{t}= \lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{|t0|}-\sqrt{|0\times0|}}{t}=0$ . sin embargo no es diferenciable ya que $\lim_{t\to0^+}\frac{f(t,t)-f(0,0)}{t}=1$ y $\lim_{t\to0^-}\frac{f(t,t)-f(0,0)}{t}=-1$ entonces no es diferenciable.

(c) Es continua porque es composición de funciones continuas,pero

$f_x(0,0)=\displaystyle\lim_{t\to 0^+}\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}= \lim_{t\to 0^+}\frac{1 − \sin\sqrt{t^2 + 0^2}- (1 − \sin\sqrt{0})}{t}=-1$ pero $f_x(0,0)=\displaystyle\lim_{t\to 0^-}\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}= \lim_{t\to 0^-}\frac{1 − \sin\sqrt{t^2 + 0^2}- (1 − \sin\sqrt{0})}{t}=1$

y el parcial $f_x$ no se define en $(0,0)$ análogamente para $f_y(0,0)$ Ambos no existen. Entonces no es diferenciable, porque una función diferenciable la elimite arriba debe existir.

(d) no es continua, porque $t>0$ entonces $(t,t)\to 0$ entonces $f(t,t)=1/2\neq 0=f(0,0)$ . Y no es diferenciable ya que no es continua. Sin embargo $f_x(0,0)=\displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}= \lim_{t\to 0^+}\frac{\dfrac{t0}{t^2+0^2}-0}{t}=0$ y $f_y(0,0)=\displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{f(0,t)-f(0,0)}{t}= \lim_{t\to 0^+}\frac{\dfrac{t0}{t^2+0^2}-0}{t}=0$ .

(e) Es evidente que no es continua, por lo tanto no es diferenciable en $(0,0)$ pero $f_x=\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{f(x+t,y)-f(x,t)}{t}=0$ y $f_y=\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{f(x,y+t)-f(x,t)}{t}=0$ se definen en $(0,0)$

(f)No es continua ya que $\lim_{t\to 0}f(2t,t)=\lim_{t\to0}\dfrac{4t^2-t^2}{4t^2+t^2}=\frac{3}{5}\neq f(0,0)$ por lo que no es diferenciable en $(0,0)$ . $f_x(0,0)=\displaystyle\lim_{t\to0^+}\frac{f(x+t,y)-f(x,t)}{t} =\lim_{t\to 0^+}\frac{\dfrac{t^2-0^2}{t^2+0^2}-0}{t}=+\infty $ análogamente para $f_y(0,0)$ , ambas son notas definidas en $(0,0)$ .