Dificultad para entender esta definición del proceso de Poisson

Question

Tengo problemas para entender esta definición del proceso de Poisson.

Deje que $S$ ser un subconjunto discreto y aleatorio de puntos de $ \mathbb {R}^d$ y dejar $ \lambda >0$ .

1. Una partición $ \mathcal {A}$ de $ \mathbb {R}^d$ con $A \in \mathcal {A}$ medible y $l(A)< \infty $ .

2. Variables aleatorias independientes de Poisson $Y_A \sim\text {Poisson}( \lambda l(A))$ .

3. Una familia $((U_{A,j}, j \ge 1) A \in \mathcal {A})$ donde $U_{A,j} \sim\text {Unif}(A)$ independiente.

4. Defina $$S= \bigcup_ {A \in \mathcal {A}} \bigcup_ {j \le Y_A}\{U_{A,j}\}$$

$S$ es un proceso de Poisson de intensidad $ \lambda $ .

Todo lo que ya sabía era la definición dada en el página de wikipedia

¿Son estos dos diferentes o tienen conexión? ¿Puede alguien ayudar a entender esto?

Answer 1

Esta definición es más general, ya que caracteriza los procesos de Poisson tanto espaciales como temporales. Sus elementos son los siguientes:

1. Una partición $ \cal {A}$ de $ \mathbb {R}^d$ en conjuntos medibles de medidas finitas. Carving $ \mathbb {R}^d$ en zonas de tamaño finito se hace de manera que el proceso en la región infinita puede definirse como un producto de procesos independientes en regiones finitas. La partición real es irrelevante; el mismo proceso se define para cualquier $ \cal {A}$ .
2. Variables aleatorias independientes $Y_A ∼ \text {Poisson}( \lambda l(A))$ para cada uno $A \in \cal {A}$ . La variable $Y_A$ es el número de eventos que ocurren en la región $A$ .
3. Variables aleatorias independientes $U_{A,j} ∼ \text {Uniform}(A)$ para cada uno $A \in \cal {A}$ y $j \in\ {1,2,3,...\}$ . La variable $U_{A,j}$ es la posición de la $j$ -el evento más importante de la región $A$ si es que hay alguno.
4. El conjunto de puntos (a.s. infinito) $S= \bigcup_ {A \in \cal {A}} \bigcup_ {j \le Y_A} \left\ {U_{A,j} \right\ }$ . Dentro de cada región $A$ El número de eventos está distribuido por Poisson; y dado el número de eventos, las ubicaciones de los mismos están distribuidas uniformemente.

Tomando $d=1$ e interpretando $ \mathbb {R}$ ya que el tiempo da un proceso temporal estándar de Poisson.