La asignación de valores a la divergencia de la serie

Question

He estado mirando divergentes de la serie en la wikipedia y otras fuentes, y parece que la gente dé "finita de valores" específicos. Entiendo que estos valores reflejan a veces las propiedades algebraicas de la serie en cuestión, pero no representan en realidad lo que la serie converge a, que es infinito. ¿Por qué es útil para asignar valores a la divergencia de la serie?

La única teoría que se me ocurrió, es este:

Dicen que usted tiene 2 divergentes de la serie, de la serie a y B, y se le asigna un valor a cada una,

Serie ($A= \sum_{n=0}^\infty a_n$), que yo le asigna el valor Q

y de la serie ($B= \sum_{n=0}^\infty b_n$ ), que yo le asigna el valor P

Pero sucede que la serie $C=A-B= \sum_{n=0}^\infty (a_n-b_n)$ converge. Puede que implica que el valor real de la serie de $C$ es la diferencia de los dos valores asignados a$A$$B$$\sum_{n=0}^\infty (a_n-b_n)=Q-P$ ?

Si es así, entonces que tendría sentido para mí, en cuanto a por qué la gente a veces asignar valores a la divergencia de la serie.

Answer 1

La situación más común con un divergentes de la serie es esta: una serie infinita con una variable $z$ es dado, que converge para algunos valores de $z$ en el plano complejo $\mathbb C.$ En la región de convergencia de la serie se define un holomorphic función, llame a es $f(z).$, Entonces la continuación analítica de la función $f(z)$ está correctamente descrita. Como resultado, hay una bien definida por el valor de $f(z)$ $z$ valores que podrían provocar que la serie original a divergir.

El mejor ejemplo es ZETA. Supongo que Euler encontró valores de $\zeta(-n)$ en los números enteros negativos, y escribió estas abajo en el estilo de la divergencia de la serie. Para que la gente obtenga una impresión de que se asigna un valor a una divergente la serie por una astuta manipulación. Este no es el caso general, sin embargo. Cuando el radio de convergencia es estrictamente superado, simplemente estamos a la presentación de informes el valor dado por la continuación analítica. No la asignación.

Aquí es un ejemplo elemental: tomemos $$ f(z) = \frac{1}{1 + z^2}. $$ Now, for $|z| < 1,$ sabemos $$ f(z) = 1 - z^2 + z^4 - z^6 + z^8 - z^{10} \cdots $$ Si yo escribí $$ 1 - 9 + 81 - 729 + 6561 - 59049 \cdots = \frac{1}{10} $$ usted tiene todas las razones para sospechar que el de la serie, obviamente, diverge. Pero si yo en su lugar escribió $$ f(3) = \frac{1}{10} $$ se podría pensar que probablemente fue bien.

Answer 2

Existen sistemas en los que los "divergentes" de la serie "coverge". Son llamados los sistemas de $p$-ádico números, y por ejemplo en $3$-ádico sistema

$$\sum_{k\geq0} 2\cdot 3^k=-1,$$

por lo tanto

$$-1=\dotsm 2222222\bullet_3.$$

Para mostrar que la identidad de arriba tiene algún sentido, vamos a tratar de multiplicar $(-1)\cdot(-1)$ por el "básica de la escuela" algoritmo, en la base de $3$. Tenemos

$$\begin{array} {}&{}&\dotsm&2&2&2&2&2&2&2\\ {}&\times&\dotsm&2&2&2&2&2&2&2\\\hline {}&{}&\dotsm&2&2&2&2&2&2&1\\ {}&+&\dotsm&2&2&2&2&2&1\\ {}&+&\dotsm&2&2&2&2&1\\ {}&+&\dotsm&2&2&2&1\\ {}&+&\dotsm&2&2&1\\ {}&+&\dotsm&2&1\\ {}&+&\dotsm&1\\ {}&+&\vdots&\vdots\\ \hline {}&=&\dotsm&0&0&0&0&0&0&1\\ \text{where the carry was:}&{}&\dotsm&6&5&4&3&2&1&0\\ \end{array}$$