Pregunta de la teoría de conjuntos elementales ... se preguntó en el examen

Question

Hay gente.

$21$ eat dish$9$

$A$ eat dish$10$

$B$ eat dish$7$

$C$ eat dish$5$ y$A , B$

¿Cuántas personas comen al menos dos platos?

Responder:

$C$ (dado en soluciones)

$10$ (como yo)

Por favor dime cuál es correcto. Además, dile si tienes una respuesta diferente.

Answer 1

Que $A,B$, y $C$ los conjuntos de personas que comen el plato A, B y C, respectivamente. Por la fórmula de inclusión-exclusión que sabemos

$$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|\;.\tag{1}$$

Dicen que $|A\cup B\cup C|=21$: hay $21$ de las personas en conjunto. También dicen que $|A|=9$, $|B|=10$, $|C|=7$ y $|A\cap B\cap C|=5$. Reorganización de $(1)$ con una pequeña álgebra, vemos que

$$\begin{align} |A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|&=|A|+|B|+|C|+|A\cap B\cap C|-|A\cup B\cup C|\ &=9+10+7+5-21\ &=10\;. \end{align} $$

Answer 2

Parece que hay algo mal aquí.

Considere la posibilidad de este diagrama de Venn y su etiquetado partes.

Se nos dice que: $$a+e+f+g=|A|=9 \qquad b+d+f+g=|B|=10 \qquad c+e+d+g=|C|= 7$$ $$g = 5$$

Así

$$\begin{align} a+e+f=4 \\ b+d+f=5 \\ c+e+d=2 \end{align}$$

así que, por adición de los tres ecuaciones,

$$a+b+c+2d+2e+2f=11 \qquad(1)$$

Pero, suponiendo que cada una de las 21 personas que come al menos un plato, también sabemos que $$a+b+c+d+e+f+g=21$$

de modo que (desde $g=5$) $$a+b+c+d+e+f=16 \qquad(2)$$

En consecuencia, al restar la ecuación (2) de la ecuación (1), $$d+e+f = -5 \text{ (!)}$$

Esta problemática resultado es consistente con @Brian de trabajo, el cual concluye

$$\begin{align} |A\cap B| + |A\cap C|+|B\cap C| &= (f+g)+(e+g)+(d+g) \\ &= 3g+(d+e+f) \\ &= 3\cdot 5 + (-5) \\ &= 10 \\ \end{align}$$

Nota, sin embargo, que este valor no respuesta OP pregunta, ya que la sobre-cuenta la gente que come todos los tres platos. El número de personas que comen al menos dos de los platos debe ser dado por $d+e+f+g$ (es decir, $|A\cap B|+|A \cap C|+|B\cap C|-2|A\cap B\cap C|$), pero el valor calculado aquí es cero. Raro.

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Edit. Tal vez la asunción", cada una de las 21 personas que come al menos un plato" es un error. Deje $h$ el número de personas que no comen nada. Entonces tenemos

$$a+b+c+d+e+f+g+h=21$$

y

$$d+e+f=h-5$$

por lo que (salvo la gente negativa de la cena) $h \ge 5$. Por otra parte,

$$21 = a+b+c+(h-5)+5+h = a+b+c+2h$$

Por lo tanto (también de restricción de fracciones de la gente de la cena), $h \le 10$, y podemos escribir

$$5 \le d+e+f+g \le 10$$

No veo las condiciones que nos obligan a aceptar $10$ para el valor de $d+e+f+g$; de hecho, me he encontrado escenarios de $(a,b,c,d,e,f,g,h)$ que dan lugar a cada posible valor de la expresión:

$$\begin{align} (0,0,1,1,0,4,5,10) \quad &\implies \quad d+e+f+g = h = 10 \\ (1,2,0,1,1,2,5,9) \quad &\implies \quad d+e+f+g = h = 9 \\ (1,3,1,0,1,2,5,8) \quad &\implies \quad d+e+f+g = h = 8 \\ (3,4,0,1,1,0,5,7) \quad &\implies \quad d+e+f+g = h = 7 \\ (3,4,2,0,0,1,5,6) \quad &\implies \quad d+e+f+g = h = 6 \\ (4,5,2,0,0,0,5,5) \quad &\implies \quad d+e+f+g = h = 5 \end{align}$$