Relación entre Homeomorfismo y equivalencia topológica

Question

Por favor, considere las siguientes definiciones:

R: Supongamos $d$ $e$ son métricas en un conjunto $X$. A continuación, $d$ $e$ son topológicamente equivalentes métricas si y sólo si la identidad de las funciones de la $(X,d)$ $(X,e)$e de $(X,e)$ $(X,d)$son continuos.

B: Supongamos $(X,d)$ $(Y,e)$ son espacios métricos. A continuación, $X$ $Y$ son homeomórficos o topológicamente equivalentes si y sólo si, existe una bijective función de $f:X \rightarrow Y$ que es continua y tiene continua inversa; esta función es llamada una homeomorphism.

C: Supongamos $d$ $e$ son métricas en un conjunto $X$. Si $d$ $e$ son topológicamente equivalentes, entonces, ciertamente, $(X,d)$ $(X,e)$ son homeomórficos, porque la identidad de la función $I_{d,e}:(X,d) ]\rightarrow (X,e)$ es continua y tiene un continuo inverso $I_{e,d}:(X,e) \rightarrow (X,d)$. Sin embargo, lo contrario no tiene que ser verdadero

En la definición de C, es específicamente mencionado que a la inversa no tiene que ser verdadero. Supongo, por la palabra : conversar, el autor, implica : si $(X,d)$ $(X,e)$ son homeomórficos, a continuación, $d$ $e$ son topológicamente equivalentes.

Yo la razón esta de la siguiente manera: no puede existir bijective función de $f:X \rightarrow Y$ que es continua y tiene continua inversa; pero que no es la función identidad. Por lo tanto, $d$ $e$ no necesita ser topológicamente equivalentes a pesar de $(X,d)$ $(X,e)$ son homeomórficos.

Es esto correcto?

Gracias

Answer 1

Sí, esto es correcto. La "equivalencia topológica" de métricas sólo dice que inducen el exacto la misma topología.

He aquí un ejemplo de un escenario de los autores piensa. Deje $(X, d)$ $(X, e)$ dos topológicamente no-métricas de equivalente en un único espacio de $X$ -- por ejemplo, vamos a $X = \mathbb{R}^2$, $d$ es estándar métrico, y $e$ ser la estrella de la métrica: $e(x, y) = d(x, y)$ si $x$ $y$ se encuentran en la misma línea recta a través del origen, y $d(x, 0) + d(0, y)$ si no.

Considere la posibilidad de establecer ahora $Y = X \coprod X$, es decir, distinto de la unión de dos copias de $X$. Cada elemento de a $X$ aparece dos veces en $Y$, indican estos dos copias por $x^1$$x^2$. Podemos poner dos diferentes métricas en $Y$ ... podemos tener una métrica $d_1$ que es igual a $d$ en la primera copia, y a $e$ en el segundo ejemplar, y siempre da pie a $1$ de los puntos en dos copias diferentes. También podemos tener métrico $d_2$ $e$ en la primera copia, y $d$ en la segunda copia.

Entonces, los espacios de $(Y, d_1)$ $(Y, d_2)$ son homeomórficos (en realidad isométrica), homeomorphism sólo intercambia puntos de copias. Sin embargo, la identidad de funciones no es homeomorphism.

Answer 2

Sí, su declaración de lo contrario es correcta. Para construir un contraejemplo, usted podría comenzar con un espacio que admite una involución (orden de dos de simetría), tales como el avión y la involución de ser reflejo de la $x$-eje. Poner no equivalentes métricas en las dos mitades tal de que estén de acuerdo en el común de la superposición; llame a la resultante de la métrica $d$. A continuación, cambie los dos; llame a la resultante de la métrica $e$, es decir, $e(x,y) = d(i(x), i(y))$ donde $i:X \to X$ es la involución. La identidad no será un homeomorphism, pero la involución de la voluntad. Me puede proporcionar dos indicadores en los dos medio-aviones, si te gusta, o usted puede pensar acerca de cómo construir uno. O tal vez hay un ejemplo más sencillo.