Un campo de extensión del campo de números racionales

Question

Cómo probar que $\mathbb{Q} (\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})= \mathbb{Q} (\sqrt[3]{2})$.

'$\subset$' Desde $\sqrt[3]{2} \in \mathbb{Q} (\sqrt[3]{2}) $ y $\sqrt[3]{4} \in \mathbb{Q} (\sqrt[3]{2}) $ (porque $\sqrt[3]{4} = (\sqrt[3]{2})^2$), por lo tanto el % de la suma $\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4} \in \mathbb{Q} (\sqrt[3]{2})$

'$\supset$' No sé. Sé que $ \mathbb{Q} (\sqrt[3]{2}) = {a+b\sqrt{2}+c \sqrt[3]{2}: \, a,b,c \in \mathbb{Q} }$ $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}) =?$

Answer 1

Para probar el $F(\alpha)=F(\beta)$ % campo $F$, exactamente como usted, tenemos que probar ambas contenciones, es decir que $\alpha\in F(\beta)$ y $\beta\in F(\alpha)$, es decir, que puede ser expresados por otras utilizando las operaciones de campo y escalares de $F$.

Que $\alpha:=\sqrt[3]2$ (por lo que utilizamos $\alpha^3=2$) y que $\beta:=\sqrt[3]2+\sqrt[3]4=\alpha+\alpha^2$.

Entonces $\beta^2=\alpha^2+2\alpha^3+\alpha^4=\alpha^2+4+2\alpha$.

De esta forma, podemos expresar como $\alpha$ $\beta^2-\beta-4$.