¿Cómo tomar la derivada parcial de$f(x,y) = x\ln(x) + y\ln(y), x + y = 1$?

Question

Deje $f(x,y) = x\ln(x) + y\ln(y)$ definido en el espacio

$S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2| x> 0, y > 0, x + y = 1\}$.

Mi pregunta es, ¿cómo puedo tomar la derivada parcial de esta función, dado que los parámetros están acoplados a través de $x+y = 1$.

Una primera idea sería hacer es ignorar el acoplamiento de la restricción. Para esto, vamos a obtener,

$\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \dfrac{\partial x\ln(x) + y\ln(y)}{\partial x} = \ln(x) + x/x = \ln(x) + 1$

Si no pasamos por alto el acoplamiento de restricción, y en lugar de sustituto $y = 1-x$, lo vamos a conseguir,

$\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \dfrac{\partial x\ln(x) + (1-x)\ln(1-x)}{\partial x} = \ln(x) + 1 + \dfrac{1}{1-x} - \ln(1-x) - \dfrac{x}{1-x}$

Estoy haciendo esto correctamente?

¿Por qué obtengo dos expresiones diferentes de la gradiente?

Answer 1

Tomar el parcial de$f(x,y)$ con respecto a$x$ significa que varía$x$ manteniendo constante$y$, pero no puede hacer eso si insiste en cumplir con la restricción$x+y=1$, por lo que no tiene sentido hablar de derivados parciales en esta situación.

(Puede eliminar$y$ y obtener una función de una variable$g(x)=f(x,1-x)$, pero lo que está calculando es una derivada ordinaria $g'(x)$).

Answer 2

No puede usar$y=1−x$, estas variables son independientes. Aunque elegimos nuestros puntos de$$S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2| x> 0, y > 0, x + y = 1\}$ $, no significa que estas variables sean dependientes. Entonces el sustituto$y = 1-x$ no tiene sentido en esta función de dos variables .