Encontrar la función generadora de la secuencia $1,2,4,0,8,24,120,184,312,56,568,1592,...$

Question

Tengo problemas para encontrar una función generadora de la secuencia que tenga una forma cerrada. La secuencia se puede deducir utilizando dos potencias, con alternancia de negativos y múltiplos de tres como se muestra:

primer término: $1=1$

segundo término: $2=1+2^{0}$

tercer término: $4=1+2^{0}+2^{1}$

cuarto término: $0=1+2^{0}+2^{1}-2^{2}$

...

n-ésimo término: $n = 1+2^{0}+2^{1}-2^{2}+2^{3}+2^{4}+3(2^{5})+2^{6}+2^{7}-2^{8}+...$

Por lo tanto, el -1 aparece en cada $4(mod6)$ y el 3 aparece en cada $1(mod6)$ término mayor que 1.

Así que puedo construir la n-ésima ( $n>1$ ) de la siguiente manera:

$f(n) = 1+\sum_{i=2}^{n}2^{i-2}u(i)$

donde

$u(i)=-1$ , si $i\equiv4(mod6)$

$u(i)=3$ , si $i\equiv1(mod6)$

$u(i)=1$ Si no es así

¿Hay alguna manera de obtener una forma cerrada de la función $f(n)$ ?

Answer 1

$f(n)=2^{n-1}-2^{\lfloor\frac {n}6\rfloor+5}+2^{6\lfloor\frac {n+3}6\rfloor+2},$ que sólo funciona para $n\ge 7$ .

Answer 2

Comience por encontrar la función generadora de la secuencia $2^0, 2^1, -2^2, 2^3, 2^4, 3 \cdot 2^5, 2^6, 2^7, -2^8, \dots$ . Esta es la suma de \begin{align} \frac{1}{1-2x} &= 2^0 + 2^1x + 2^2x^2 + 2^3x^3 + 2^4x^4 + 2^5x^5 + \dots \\ -2\cdot\frac{(2x)^2}{1-(2x)^6} &= -2 \cdot 2^2x^2 - 2 \cdot 2^8x^8 - 2\cdot 2^{14}x^{14} - \dots \\ +2\cdot\frac{(2x)^5}{1-(2x)^6} &= 2 \cdot 2^5 x^5 + 2\cdot 2^{11}x^{11} + 2\cdot 2^{17}x^{17} + \dots. \end{align} Llama a esto $g(x)$ .

Entonces $1 + x \cdot g(x)$ añadirá el $1$ término al principio, que no sigue el patrón. Por último, multiplicando por $\frac{1}{1-x}$ para conseguir $$\frac{1+x \cdot g(x)}{1-x}$$ dará la función generadora de las sumas parciales de esta secuencia, que es lo que quieres.

Answer 3

He aquí una idea: $$ -2^2 = 2^2-2\times 2^2$$ y $$3\times 2^5 = 2^5 + 2 \times 2^5.$$ Así, para $n \ge 7$ podemos dividir su suma como $$f(n) = 1 + \sum_{i=0}^{n-2}2^i - 2\sum_{i=0}^{\lfloor\frac{n-4}{6}\rfloor}2^{6i+2} + 2\sum_{i=0}^{\lfloor\frac{n-7}{6}\rfloor}2^{6i+5}.$$ La última pieza debería ser cuestión de calcular estas sumas más sencillas.